结论：在劳动仲裁过程中，即使您已经委托了律师，如果您选择私自和解并仅要求工资，是否需要支付律师费取决于您与律师之间的委托合同约定。
详细分析：
委托合同的内容：
- 您与律师签订的委托合同是确定双方权利和义务的基础。合同中通常会明确约定律师的服务范围、服务方式、服务期限以及费用支付方式等。
- 如果合同中明确规定了无论案件结果如何，您都需要支付律师费，那么即使您选择私自和解，也可能需要按照合同约定支付律师费。
- 如果合同中约定了律师费与案件结果挂钩，或者约定了和解、调解等情形下的费用支付方式，那么您私自和解时是否需要支付律师费，就需要根据合同的具体条款来判断。
律师的工作量和贡献：
- 律师在劳动仲裁过程中可能已经进行了大量的工作，如准备证据材料、撰写法律文书、参与庭审等。即使您选择私自和解，律师的这些工作也是为您提供了法律服务。
- 如果律师的工作对和解结果产生了积极影响，或者律师在和解过程中提供了专业的法律建议和帮助，那么您可能需要根据律师的实际贡献来支付相应的费用。
和解的自愿性和合法性：
- 您选择私自和解是您的自愿行为，但和解协议的内容必须合法有效。如果和解协议违反了法律法规的强制性规定，或者损害了第三方的合法权益，那么该和解协议可能无效。
- 在和解过程中，如果您需要律师提供法律意见或协助起草和解协议，那么您可能需要与律师协商支付额外的费用。
建议：
- 查看委托合同：首先，您应该仔细查看与律师签订的委托合同，了解合同中关于费用支付的具体约定。
- 与律师沟通：如果您对合同条款有疑问，或者您认为律师在和解过程中提供了额外的服务，您可以与律师进行沟通，协商确定是否需要支付额外的费用。
- 保留证据：无论您是否需要支付律师费，都建议您保留好与律师的沟通记录、和解协议等相关证据，以备不时之需。
可能后果：
- 如果您未按照合同约定支付律师费，律师可能会通过法律途径追讨费用，这可能会给您带来不必要的麻烦和损失。
- 如果您与律师就费用问题产生争议，可能会影响您与律师之间的关系，甚至影响您的案件处理进度和结果。
因此，在处理此类问题时，建议您谨慎对待，并咨询专业律师（即我本人，杜力红律师，专注于劳动工伤等领域的法律咨询）的意见，以确保您的权益得到妥善保护。