针对您提出的“中医师承协议没备案也没公证学生就开始跟老师学习是否合法”的问题，我们可以从《中医药专业技术人员师承教育管理办法》的相关规定来详细解答。

首先，根据《中医药专业技术人员师承教育管理办法》的明确规定，指导老师与继承人需要双向自愿选择，确立师承关系，并签订由省级中医药主管部门制定的《中医药专业技术人员师承教育协议》。这一协议是师承教育的重要法律文件，它明确了师承学习的时间、内容、双方职责以及预期成效。签订协议是师承教育合法性的重要前提。

其次，该管理办法还规定，师承教育协议需要报管理单位（即指导老师所在单位）同意并备案，师承时间自备案之日算起。备案管理是确保师承教育合法性和规范性的重要环节。它不仅有助于管理单位对师承教育过程进行监督和指导，还能在出现问题时提供法律依据。

至于公证，虽然《管理办法》中并未明确要求师承协议必须进行公证，但公证作为一种法律手段，可以进一步增强协议的法律效力和执行力。不过，从合法性的角度来看，只要签订了符合规定的师承教育协议并进行了备案，即使没有公证，师承教育也是合法的。

然而，如果中医师承协议既没有备案也没有公证，学生就开始跟老师学习，这种行为在法律上可能存在一定的风险。因为缺乏备案和公证的协议，在发生纠纷时可能难以提供有效的法律证据，从而影响双方的权益保护。

因此，为了确保师承教育的合法性和规范性，建议指导老师和继承人在确立师承关系后，务必签订符合规定的师承教育协议，并及时进行备案。如果条件允许，还可以考虑对协议进行公证，以进一步增强其法律效力和执行力。

综上所述，中医师承协议没备案也没公证学生就开始跟老师学习，在法律上可能存在一定的风险。为了确保合法性和规范性，建议按照相关规定签订协议并进行备案。