若法院判决分担诉讼费用错误，确实可以通过监督程序申请再审来纠正。以下是对此问题的详细分析：
一、法律依据与程序选择
根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，当事人对已经发生法律效力的判决、裁定，认为有错误的，可以向上一级人民法院申请再审。这包括了对诉讼费用分担的判决。因此，如果当事人认为法院在判决中分担诉讼费用的部分存在错误，完全有权通过申请再审这一监督程序来寻求纠正。
二、申请再审的条件与理由
条件：
- 判决、裁定已经发生法律效力。
- 当事人认为判决、裁定有错误。
理由：
- 在诉讼费用分担方面，如果当事人能够证明法院在判决中未按照法律规定或案件实际情况合理分担诉讼费用，例如，未考虑当事人的经济状况、案件胜败诉比例等因素，导致诉讼费用分担显失公平，那么这就可以作为申请再审的理由。
三、申请再审的流程与注意事项
流程：
- 当事人应在判决、裁定发生法律效力后六个月内提出再审申请。
- 提交再审申请书，并附相关证据材料，如原判决、裁定书、证据材料等。
- 等待法院审查，法院将根据申请理由和证据材料决定是否受理再审申请。
注意事项：
- 当事人应确保再审申请书的撰写清晰、准确，明确指出原判决、裁定中的错误及理由。
- 提供的证据材料应充分、有力，能够支持再审申请的理由。
- 当事人应关注法院的审查进度，及时配合法院的调查和询问。
四、其他可能的纠正途径
除了申请再审外，当事人还可以考虑通过以下途径来纠正诉讼费用分担的错误：
- 与对方当事人协商：如果双方对诉讼费用分担有争议，可以尝试通过协商达成一致意见，并请求法院出具调解书或裁定书予以确认。
- 向法院提出异议：在判决、裁定作出后，如果当事人发现诉讼费用分担存在错误，还可以及时向法院提出异议，请求法院进行更正。但这一途径的适用性和效果可能因具体情况而异。
总结来说，若法院判决分担诉讼费用错误，当事人完全有权通过申请再审这一监督程序来寻求纠正。在申请再审时，当事人应确保符合申请条件、提供充分的理由和证据材料，并遵循正确的申请流程。同时，也可以考虑其他可能的纠正途径，如与对方当事人协商或向法院提出异议。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。