企业在以下特定情况下开除员工可以不支付赔偿金：

1. 试用期不符合录用条件：

   • 法律要点：根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，若劳动者在试用期间被证明不符合录用条件，用人单位可以解除劳动合同且无需支付赔偿金。但关键在于，用人单位需有明确的录用条件，并在试用期内对员工进行客观、公正的考核。例如，若招聘时明确了学历、技能证书或工作经验等要求，而劳动者提供了虚假材料或工作表现无法达到岗位设定的工作任务指标，则用人单位可依据此条款辞退员工。
   • 建议：企业在招聘时应明确具体的录用条件，并在试用期内对员工进行全面评估，确保有充分证据证明员工不符合录用条件。

2. 严重违反公司规章制度：

   • 法律要点：员工若严重违反用人单位的规章制度，用人单位同样有权解除劳动合同且不赔偿。但前提是规章制度必须合法、合理且已向员工公示。例如，公司有明确规定禁止在工作场所吸烟，员工多次违规且不听劝阻，或连续旷工超过规定天数，均属于严重违反规章制度的情形。
   • 建议：企业应制定合法、合理的规章制度，并确保员工知晓并同意遵守。在解除劳动合同时，需确保有充分证据证明员工严重违反了规章制度。

3. 同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位任务造成严重影响或拒不改正：

   • 法律要点：若劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，并对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出后拒不改正，用人单位可解除劳动合同且不支付赔偿金。这一规定旨在保护用人单位的合法权益，确保员工能够专注于本职工作。
   • 建议：企业应关注员工的工作状态，若发现员工在外兼职且影响本职工作，应及时与员工沟通并要求其改正。若员工拒不改正，企业可依据此条款解除劳动合同。

4. 以欺诈、胁迫手段或乘人之危导致劳动合同无效：

   • 法律要点：劳动者若以欺诈、胁迫的手段或者乘人之危，使对方在违背真实意思的情况下订立或者变更劳动合同，导致劳动合同无效，用人单位有权辞退且无需赔偿。例如，劳动者伪造学历证书或工作经历等重要信息与用人单位签订劳动合同，即属于此类情况。
   • 建议：企业在签订劳动合同时，应对劳动者的身份、学历、工作经历等信息进行核实，确保劳动合同的真实性和有效性。若发现劳动者存在欺诈行为，企业可依据此条款解除劳动合同。

5. 严重失职、营私舞弊给公司造成重大损害：

   • 法律要点：劳动者在工作中若存在严重失职行为，如因疏忽大意导致重大生产事故，或利用职务之便谋取私利、收取回扣等营私舞弊行为，给用人单位造成重大损害的，用人单位有权解除劳动合同且无需支付赔偿金。这里的“重大损害”需要根据企业的规模、行业特点等因素来综合判断，并且用人单位需要有充分的证据来证明损害的存在和具体程度。
   • 建议：企业应明确“重大损害”的标准，并在规章制度中予以规定。在解除劳动合同时，需确保有充分证据证明员工存在严重失职或营私舞弊行为，并给公司造成了重大损害。

6. 被依法追究刑事责任：

   • 法律要点：劳动者若被依法追究刑事责任，包括被人民检察院免予起诉、被人民法院判处刑罚（包括主刑和附加刑）、被人民法院依据刑法相关规定免予刑事处分等情况，用人单位有权解除与其的劳动合同且无需支付赔偿金。
   • 建议：企业应关注员工的法律状态，若发现员工被依法追究刑事责任，应及时解除与其的劳动合同，以避免潜在的法律风险。

额外说明：除了上述情形外，若是劳动合同期满，员工主动提出不再续签，双方互相也不必做任何补偿。这是基于劳动合同自愿原则，尊重双方的选择权。

总结与建议：企业在开除员工时，需确保具备充足的证据来证实上述情况确实发生，以确保行为的合法性和正当性。同时，企业也应尽量与员工进行沟通协商，寻求和平解决方式，以减少潜在的法律风险和负面影响。若您在劳动纠纷方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。