结论：卫生局在六个月之内不申请调解，直接起诉是可以的，但具体是否可行还需结合案件具体情况及调解的自愿性原则来判断。以下是对此问题的详细分析：

一、调解的自愿性原则

调解作为一种纠纷解决方式，其核心在于当事人的自愿参与。根据《中华人民共和国人民调解法》及相关法律规定，调解应当遵循自愿、平等、合法、尊重当事人权利的原则。这意味着，卫生局作为当事人一方，有权选择是否参与调解，以及何时参与调解。如果卫生局认为直接起诉更为合适，或者认为调解无法有效解决纠纷，那么它有权选择不申请调解而直接起诉。

二、起诉的时效性

在行政诉讼中，起诉的时效性是一个重要的法律要素。根据《中华人民共和国行政诉讼法》及相关司法解释的规定，当事人应当在知道或者应当知道行政行为作出之日起一定期限内提起诉讼。这个期限通常为六个月，但具体期限可能因案件类型、地区差异等因素而有所不同。因此，如果卫生局认为行政行为侵犯了其合法权益，且在法定的起诉期限内，那么它有权选择直接起诉，而不必先申请调解。

三、调解与起诉的关系

调解和起诉是两种独立的纠纷解决方式，它们之间并不存在必然的先后顺序关系。卫生局可以选择先尝试调解，如果调解不成或者调解结果不满意，再提起诉讼；也可以选择直接起诉，而不经过调解程序。这完全取决于卫生局对纠纷解决方式的选择和判断。

四、实际操作中的考虑因素

虽然卫生局在六个月之内不申请调解直接起诉在法律上是可行的，但在实际操作中，还需要考虑以下因素：

1. 纠纷性质：如果纠纷涉及复杂的法律关系或事实认定，调解可能更为高效和灵活。通过调解，双方可以在更宽松的氛围中协商解决方案，避免诉讼的繁琐和耗时。
2. 对方态度：如果对方愿意参与调解，并且调解有可能达成双方都能接受的解决方案，那么调解可能是一个更好的选择。这有助于维护双方的关系，减少对抗性。
3. 诉讼成本：诉讼需要投入大量的时间、精力和金钱。如果卫生局认为通过调解可以更经济地解决纠纷，那么它可能会选择调解。反之，如果调解无法达成满意的结果，或者调解成本过高，那么直接起诉可能更为合适。

建议：卫生局在六个月之内不申请调解直接起诉是可以的，但具体是否可行还需结合案件具体情况及调解的自愿性原则来判断。如果卫生局对纠纷解决方式有疑问或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询。我将根据具体情况提供专业的法律意见和帮助。