当遇到最高法院（这里实际应指一般法院，因最高法院通常不直接受理此类具体案件，而是由下级法院管辖）处理的涉及国有公司法定代表人死亡的情况，并需要提起诉讼时，可以遵循以下步骤和注意事项来确保诉讼的顺利进行：
一、明确诉讼主体
公司作为责任主体：
- 尽管法定代表人已死亡，但公司作为独立的法律实体，其民事权利能力和民事行为能力并未因此消灭。因此，在起诉时，应以公司为被告，而非已故的法定代表人个人。
确定公司现状：
- 了解公司是否仍在正常运营，以及是否有新的法定代表人或负责人接管。如果公司已进入清算或破产程序，可能需要将清算组或破产管理人列为共同被告或相关责任人。
二、确定诉讼代表人
在法定代表人死亡后，公司需要确定一位合法的诉讼代表人来代表公司进行诉讼。这通常可以通过以下几种方式实现：
由公司其他负责人担任：
- 根据《民事诉讼法》及相关司法解释，公司可以通过内部决策程序（如董事会或股东会决议）推选其他负责人或高级管理人员作为诉讼代表人。
- 决定作出后，应向法院提交相关决议文件，证明诉讼代表人的合法性和代表性。
由监事会或监事代表：
- 如果公司章程有特别规定，或者公司董事会、股东会无法就诉讼代表人达成一致意见，可以由公司监事会或不设监事会的有限责任公司的监事代表公司进行诉讼。
- 监事会或监事应根据公司章程或相关法律法规的规定，履行相应的决策程序，并提交相关决议文件及证明材料给法院。
由清算组或破产管理人代表（在特定情形下）：
- 如果公司已经进入清算程序或破产程序，那么应由清算组或破产管理人代表公司进行诉讼。
- 清算组或破产管理人应提交相关的任命文件或证明材料给法院。
三、准备起诉材料
基本证据材料：
- 起诉状：详细陈述诉讼请求、事实和理由，并明确被告为公司。
- 证据清单：包括与公司交易的相关合同、协议、付款凭证、沟通记录等，以证明公司的违约行为或侵权行为。
特殊证据材料：
- 法定代表人死亡证明：用于说明原法定代表人已无法代表公司行使职权。
- 公司现状证明：如工商登记信息变更记录、清算公告等，以证明公司的最新状态。
四、提交起诉申请
选择管辖法院：
- 根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，通常应向被告住所地（即公司主要办事机构所在地）或合同履行地的人民法院提起诉讼。
递交起诉材料：
- 将准备好的起诉状、证据材料等递交给选定的法院，并按照法院要求缴纳诉讼费用。
五、参与诉讼过程
出庭应诉：
- 按照法院通知的时间和地点参加庭审，就案件事实进行陈述和辩论。
提供证据：
- 在庭审中出示准备好的证据材料，支持自己的诉讼请求。
应对反诉或抗辩：
- 如公司提出反诉或抗辩意见，需及时作出回应并提供相应证据。
六、关注执行问题
胜诉后的执行：
- 如果法院判决公司承担责任，而公司拒不履行判决义务，可向法院申请强制执行。
- 执行过程中可能涉及对公司财产的查封、扣押、拍卖等措施。
考虑公司破产情况：
- 如果公司已资不抵债并进入破产程序，需按照破产法的相关规定申报债权并参与分配。
综上所述，当国有公司法定代表人死亡并需要提起诉讼时，关键在于明确诉讼主体、确定合法的诉讼代表人、准备充分的起诉材料、选择正确的管辖法院，并积极参与诉讼过程。希望这些信息能对您有所帮助。如有任何进一步的问题或需要进一步的法律建议，请随时咨询。