在诉讼过程中，若需增加诉讼请求并申请减免诉讼费，这一申请通常由法院的立案庭或诉讼服务中心负责处理。以下是对此问题的详细分析：

一、法院内部职责划分

1. 立案庭：立案庭是法院负责接收、审查并决定是否立案的部门。在诉讼过程中，若当事人需要增加诉讼请求，这通常涉及到对原诉讼材料的补充或修改，立案庭会对此进行审查。同时，若当事人同时提出减免诉讼费的申请，立案庭也会根据相关规定进行初步审查，并决定是否将申请转交至相关部门进一步处理。
2. 诉讼服务中心：部分法院设有诉讼服务中心，该中心负责为当事人提供一站式诉讼服务，包括诉讼咨询、材料收转、费用缴纳等。在当事人提出增加诉讼请求并申请减免诉讼费时，诉讼服务中心可能会直接受理申请，并根据法院内部流程将申请转交至相关部门处理。

二、减免诉讼费的申请流程

1. 提交申请：当事人应在诉讼过程中，向法院提交书面申请，明确说明增加诉讼请求的内容及理由，并同时提出减免诉讼费的申请。申请中应附上相关证明材料，如经济困难证明等。
2. 法院审查：法院在收到申请后，会对当事人的经济状况、案件性质等因素进行综合审查，以决定是否批准减免诉讼费的申请。这一审查过程可能由立案庭、诉讼服务中心或法院指定的其他部门负责。
3. 决定通知：法院在审查完毕后，会向当事人发出书面通知，告知其申请是否被批准。若申请被批准，法院会明确减免的诉讼费金额及支付方式；若申请未被批准，法院会说明理由，并告知当事人享有复议或申诉的权利。

三、法律依据

根据《诉讼费用交纳办法》的相关规定，当事人经济确有困难的，可以向人民法院申请缓交、减交或者免交诉讼费用。这一规定为当事人申请减免诉讼费提供了法律依据。在具体操作中，法院会根据当事人的实际情况和案件性质，结合相关规定进行审查并作出决定。

四、建议与注意事项

1. 及时提交申请：当事人在诉讼过程中若需增加诉讼请求并申请减免诉讼费，应及时向法院提交申请，以免错过最佳时机。
2. 准备充分材料：当事人在提交申请时，应准备充分的证明材料，如经济困难证明、案件相关证据等，以支持其申请。
3. 关注法院通知：当事人在提交申请后，应密切关注法院的通知，及时了解申请的处理进度和结果。

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