结论：砍掉基本农田上自然生长的树木是否违法，需根据具体情况判断。若砍伐行为未经相关部门批准，且不符合恢复耕种粮食的合理需求，可能构成违法；若符合相关规定并经过批准，则可能不违法。以下从不同角度进行分析：
一、基本农田保护原则
根据《中华人民共和国土地管理法》和《基本农田保护条例》的相关规定，基本农田是受到严格保护的耕地，任何单位和个人不得擅自改变其用途或进行破坏。自然生长的树木虽然并非人为种植，但若其存在影响了基本农田的耕种功能，理论上应当进行合理处理以恢复耕种。然而，这并不意味着可以随意砍伐。
二、砍伐树木的合法性分析
未经批准砍伐：
- 若村民未经林业主管部门或其他相关部门批准，擅自砍伐基本农田上的树木，即使是为了恢复耕种粮食，也可能构成违法行为。因为砍伐树木可能涉及到林木所有权、林地使用权以及生态环境保护等多个方面的问题。
- 根据《中华人民共和国森林法》的规定，砍伐林木必须申请采伐许可证，并按照许可证的规定进行采伐。未经批准砍伐林木的，将受到法律的制裁。
经过批准砍伐：
- 若村民为了恢复耕种粮食，向相关部门提出了砍伐申请，并获得了批准，那么砍伐行为可能是合法的。但即便如此，也需严格按照批准的范围和方式进行砍伐，不得超出批准范围或采用不当方式砍伐。
- 此外，即使获得了批准，砍伐后也需及时采取措施恢复耕种，确保基本农田的耕种功能得到恢复。
三、恢复耕种粮食的合理性
- 恢复耕种粮食是保护基本农田、保障国家粮食安全的重要举措。然而，在恢复耕种的过程中，也需注重方式方法，避免对生态环境造成破坏。
- 对于基本农田上自然生长的树木，若其存在确实影响了耕种功能，且无法通过其他方式（如修剪、移植等）进行解决，那么砍伐可能是一种合理的选择。但需确保砍伐行为符合相关规定，并经过相关部门批准。
四、法律建议
咨询相关部门：
- 在砍伐基本农田上的树木前，建议村民先咨询当地林业主管部门或农业部门，了解砍伐树木的相关规定和程序。
申请采伐许可证：
- 若确实需要砍伐树木，应按照相关规定向相关部门申请采伐许可证，并严格按照许可证的规定进行砍伐。
恢复耕种：
- 砍伐后，应及时采取措施恢复耕种，确保基本农田的耕种功能得到恢复。
注意生态环境保护：
- 在砍伐和恢复耕种的过程中，也需注重生态环境保护，避免对生态环境造成破坏。
若您在处理此类问题时遇到任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。