针对您提出的“立案留置后供述无法查证怎么办”这一问题，这确实是一个涉及监察执法与刑事司法衔接的复杂问题。以下是我根据相关法律法规及实践操作，为您提供的详细解答：
一、理解留置措施与供述的性质
留置是监察机关在调查严重职务违法或职务犯罪时，对被调查人采取的一项限制人身自由的强制措施。在留置期间，被调查人需要配合监察机关的调查工作，包括如实供述自己的违法犯罪事实。然而，当供述无法查证时，我们需要从多个角度来分析和处理。
二、供述无法查证的可能原因
- 证据缺失或灭失：可能由于时间久远、证据保管不善等原因，导致与供述相关的证据已经缺失或灭失。
- 供述内容模糊或矛盾：被调查人在供述时可能由于记忆不清、故意隐瞒或编造等原因，导致供述内容模糊或存在矛盾。
- 其他证据与供述不符：在调查过程中，监察机关可能收集到了与被调查人供述相矛盾的其他证据。
三、处理供述无法查证的方法
进一步调查取证：
- 监察机关应继续深入调查，寻找与供述相关的其他证据，如物证、书证、证人证言等。
- 可以与其他机关（如检察机关、公安机关）协同取证，共享证据或为对方收集证据提供协助，以形成完整的证据链。
重新讯问被调查人：
- 在有新证据或发现原供述存在疑问时，监察机关可以重新讯问被调查人，要求其进一步说明情况或提供新的证据。
- 讯问过程中应注意方式方法，确保被调查人的合法权益不受侵犯，同时引导其如实供述。
审查证据的合法性与关联性：
- 对已收集的证据进行全面审查，确保其合法、真实、关联，能够支持或反驳被调查人的供述。
- 对于非法证据或无关证据，应依法予以排除或不予采信。
依据现有证据作出处理决定：
- 在综合分析所有证据的基础上，如果认为被调查人的供述无法查证且不影响案件定性的，可以依据其他证据作出处理决定。
- 如果认为被调查人的供述对案件定性有重要影响且无法查证的，应谨慎处理，必要时可以请示上级机关或咨询专业法律人士的意见。
四、法律依据与参考
- 根据《关于加强和完善监察执法与刑事司法衔接机制的意见(试行)》的相关规定，监察机关在调查过程中应与其他机关相互配合、相互协助，共同确保案件的顺利办理。
- 在处理供述无法查证的问题时，应遵循证据裁判原则，即以证据为依据、以法律为准绳，确保案件处理的公正性和合法性。
五、建议与总结
- 对于监察机关而言，应加强调查取证工作，确保证据的充分性和可靠性；同时加强与其他机关的沟通协调，形成办案合力。
- 对于被调查人而言，应如实供述自己的违法犯罪事实，配合监察机关的调查工作；如果供述无法查证且确实存在困难或疑问的，应及时向监察机关说明情况并提供相关证据。
综上所述，立案留置后供述无法查证是一个复杂而敏感的问题，需要监察机关依法依规、谨慎处理。通过进一步调查取证、重新讯问被调查人、审查证据的合法性与关联性以及依据现有证据作出处理决定等措施，可以有效地解决这一问题并确保案件的顺利办理。