关于公司解除劳动关系的赔偿问题，这确实是一个涉及多方面法律条款和具体情况的复杂议题。以下，我将根据相关法律法规，为您详细梳理不同情形下的赔偿方式和标准。

一、公司无需支付赔偿的情形

首先，如果劳动者存在以下过错，公司有权解除劳动合同且无需承担经济补偿：

1. 试用期间不符合录用条件；
2. 严重违反公司规章制度；
3. 严重失职、营私舞弊，给公司造成重大损害；
4. 与其他公司建立劳动关系，对本单位工作造成严重影响或拒不改正；
5. 以欺诈、胁迫手段或乘人之危订立或变更劳动合同，导致合同无效；
6. 被依法追究刑事责任。

在这些情况下，公司解除劳动合同是合法的，因此无需支付任何赔偿。

二、公司需支付经济补偿的情形及标准

接下来，我们看看哪些情况下公司解除劳动合同需要支付经济补偿，以及具体的计算标准：

1. 双方协商一致解除：当用人单位提出并与劳动者协商一致解除劳动合同时，用人单位必须向劳动者支付经济补偿。补偿标准按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。

2. 特定情形下解除：包括劳动者因病或非因工负伤，医疗期满后无法从事原工作或另行安排的工作；劳动者不能胜任工作，经培训或调整岗位后仍不能胜任；劳动合同订立时的客观情况发生重大变化，无法履行且未达成变更协议等。在这些情况下，经济补偿标准同样按工作年限计算。

3. 经济补偿的特殊计算：若劳动者月工资高于当地上年度职工月平均工资三倍，则按三倍数额支付经济补偿，且最高不超过十二年。这里的“月工资”指的是劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。

三、公司违法解除需支付赔偿金的情形

如果公司违反《劳动合同法》规定解除或终止劳动合同，比如无故解雇或在员工处于孕期、产期、哺乳期等不得解除的期间解除劳动关系，那么公司应依照上述经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。

四、额外注意事项

• 代通知金：若公司未提前一个月通知员工即解雇，还需额外支付一个月工资作为代通知金。
• 合同期满和公司裁员：在合同期满或公司因破产重整、生产经营困难等原因需要裁员时，也有相应的补偿规定。具体数额和方式会根据实际情况有所不同，建议咨询专业律师以获取更准确的法律意见。

五、实际操作建议

在实际处理公司解除劳动关系补偿问题时，我建议您注意以下几点：

1. 收集证据：保留好劳动合同、工资条、工作证、考勤记录等相关证据，以维护自己的合法权益。
2. 协商解决：首先尝试与公司协商解决补偿问题，看是否能够达成一致。
3. 法律途径：如果双方无法协商一致，可以通过劳动仲裁或诉讼等法律途径解决。

综上所述，公司解除劳动关系时的赔偿问题需要根据具体情况来判断。希望以上解答能够为您提供清晰、详细的法律指导。如果您还有其他疑问或需要进一步的帮助，请随时告诉我。