案件未上诉的情况下，当事人仍然有权在符合法定条件时申请再审。这一权利是法律赋予当事人的重要救济途径，旨在保障其合法权益和司法的公正性。以下是对此问题的详细解答：
一、申请再审的法律依据
根据《中华人民共和国民事诉讼法》（2021年修正）的相关规定，特别是第二百一十一条，当事人的申请符合下列情形之一的，人民法院应当再审：
- 有新的证据，足以推翻原判决、裁定的：如果当事人在判决生效后发现了新的证据，且这些证据足以证明原判决、裁定存在错误，那么可以依据此条件申请再审。
- 原判决、裁定认定的基本事实缺乏证据证明的：如果原判决、裁定所依据的基本事实没有充分的证据支持，或者证据之间存在矛盾，导致事实认定不清，那么当事人也可以以此为由申请再审。
- 原判决、裁定认定事实的主要证据是伪造的：如果当事人发现原判决、裁定所依据的主要证据是伪造的，那么这构成了申请再审的充分理由。
- 原判决、裁定适用法律确有错误的：如果原判决、裁定在适用法律方面存在错误，如适用了错误的法律条文或法律解释不当等，那么当事人也可以据此申请再审。
- 审判组织的组成不合法或者依法应当回避的审判人员没有回避的：这影响了案件的公正审理，当事人可以以此为由申请再审。
- 无诉讼行为能力人未经法定代理人代为诉讼或者应当参加诉讼的当事人，因不能归责于本人或者其诉讼代理人的事由，未参加诉讼的：这也构成了申请再审的法定情形。
- 违反法律规定，剥夺当事人辩论权利的：如果原判决、裁定在诉讼程序上剥夺了当事人的辩论权利，那么当事人可以申请再审。
- 未经传票传唤，缺席判决的：这也是一种违反法定程序的情形，当事人可以据此申请再审。
- 原判决、裁定遗漏或者超出诉讼请求的：如果原判决、裁定遗漏了当事人的诉讼请求或者超出了当事人的诉讼请求范围，那么当事人可以申请再审。
- 据以作出原判决、裁定的法律文书被撤销或者变更的：如果作为原审判决基础的其他法律文书（如仲裁裁决、公证文书等）被依法撤销或变更，那么当事人可以申请再审。
- 审判人员审理该案件时有贪污受贿，徇私舞弊，枉法裁判行为的：如果当事人有证据证明审判人员在审理案件过程中存在上述违法行为，那么也可以以此为由申请再审。
二、再审与上诉的区别
- 上诉是常规救济途径，针对一审判决或裁定，在法定期限内向上一级法院提出，请求重新审理。
- 再审则是针对已生效的判决、裁定，在出现法定再审事由时启动，旨在纠正生效裁判的错误。
两者是不同的救济程序，互不替代。因此，未上诉并不影响当事人申请再审的权利。
三、再审申请的条件与流程
- 申请主体：原审原告、被告、第三人等诉讼参与人。
- 申请对象：已生效的一审或二审民事判决、裁定。
- 申请理由：必须存在上述第二百一十一条规定的情形之一。
- 时间限制：一般应在判决、裁定发生法律效力后六个月内提出；特定情形下（如有新证据足以推翻原判决），自知道或应当知道之日起六个月内提出。
- 提交材料：向人民法院提交书面再审申请书及相关证据材料。
- 法院审查：法院对再审申请进行形式审查和实质审查，可能要求补充材料或进行询问。
- 审查结果：符合条件的裁定再审，不符合条件的裁定驳回申请。
四、注意事项
- 申请再审期间，不停止原判决、裁定的执行。
- 当事人应充分了解再审申请的条件和程序，确保申请的有效性和成功率。
综上所述，案件未上诉并不影响当事人申请再审的权利。在符合法定条件的情况下，当事人可以通过再审程序寻求司法救济，以维护自身合法权益和司法的公正性。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。