结论前置：租赁物丢失后是否需要延续租金，这主要取决于租赁合同的约定以及丢失的原因和责任归属。以下从不同情况进行分析：
租赁合同有明确约定：
- 如果租赁合同中明确规定了租赁物丢失后的租金处理方式，比如“租赁物丢失后，承租人仍需支付租金至合同期满”或“租赁物丢失，合同自动终止，承租人无需再支付租金”等，那么双方应严格按照合同约定执行。
- 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，依法成立的合同，对当事人具有法律约束力。当事人应当按照约定履行自己的义务，不得擅自变更或者解除合同。
租赁合同无明确约定，但丢失原因可归责于承租人：
- 如果租赁物丢失是由于承租人的过错或故意行为导致的，那么承租人不仅可能需要承担赔偿租赁物损失的责任，还可能需要根据合同法的原则，继续支付租金至合同期满或双方协商一致的其他时间点。这是因为承租人的行为导致了租赁关系的无法继续，但其仍应承担合同约定的租金支付义务，除非双方能够就租金支付达成新的协议。
- 法律建议：在此情况下，建议承租人主动与出租人协商，就租金支付和租赁物赔偿等问题达成一致，以避免不必要的法律纠纷。
租赁合同无明确约定，且丢失原因不可归责于承租人：
- 如果租赁物丢失是由于不可抗力（如自然灾害、战争等）或出租人自身的原因导致的，且承租人对此没有过错，那么承租人可能无需继续支付租金。因为在此情况下，租赁关系因不可抗力或出租人的原因而无法继续，承租人没有继续支付租金的义务。
- 法律背景：根据《中华人民共和国民法典》中关于不可抗力和合同解除的相关规定，因不可抗力致使不能实现合同目的，当事人可以解除合同。合同解除后，尚未履行的，终止履行；已经履行的，根据履行情况和合同性质，当事人可以请求恢复原状或者采取其他补救措施，并有权请求赔偿损失。
- 实际操作：在此情况下，建议承租人及时与出租人沟通，说明情况，并协商解决方案。如果双方无法达成一致，可以考虑通过法律途径解决纠纷。
进一步思考：在处理租赁物丢失后的租金问题时，除了考虑合同约定和丢失原因外，还应考虑租赁物的性质、价值、使用期限以及双方当事人的实际损失等因素。如果租赁物价值较高或使用期限较长，且丢失对出租人造成了较大损失，那么承租人可能需要承担更多的赔偿责任和租金支付义务。因此，在签订租赁合同时，双方应尽可能明确约定租赁物丢失后的处理方式，以避免不必要的纠纷。
总结：租赁物丢失后是否需要延续租金，取决于租赁合同的约定以及丢失的原因和责任归属。在处理此类问题时，建议双方首先查阅租赁合同中的相关条款，然后根据实际情况和法律规定进行协商或寻求法律帮助。如有任何疑问或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。