针对“私家车撞人后当时没事但第二天住院”的情况，处理方式需结合事故责任、伤情因果关系及法律程序综合判断，以下是具体分析：

1. 立即采取的行动

   • 固定证据：无论事故当时是否报警，均需第一时间联系交警部门补充报案（若未超过48小时），并要求调取现场监控、行车记录仪等证据，证明事故真实性及双方行为。
     
   • 伤情关联性证明：要求医院出具《诊断证明书》，明确住院原因（如“因交通事故导致XX部位损伤”），并保留所有医疗票据、检查报告、用药清单等，以证明伤情与事故的直接因果关系。
     
   • 联系保险公司：立即通知车辆投保的保险公司，说明事故经过及伤者住院情况，避免因未及时报案导致理赔纠纷。

2. 责任认定与赔偿流程

   • 交警责任认定：若已报案，交警会出具《交通事故责任认定书》，明确双方责任比例（如全责、主责、次责等）。此文件是后续赔偿的核心依据。
     
   • 赔偿范围：根据责任比例，赔偿项目包括医疗费、误工费、护理费、住院伙食补助费、交通费等。若伤者构成伤残，还需赔偿残疾赔偿金、精神损害抚慰金等。
     
   • 保险理赔：若车辆投保了交强险及商业三者险，保险公司会在责任限额内先行赔付。超出部分由车主按责任比例承担。
     
   • 协商或诉讼：若双方对赔偿金额无争议，可签订《赔偿协议书》并一次性了结；若争议较大，伤者可能通过法院起诉，此时需积极应诉并提供证据。

3. 特殊情况处理

   • 伤情延迟显现：若伤者因事故导致内伤（如脑震荡、内脏损伤等）未在事故当时显现，需通过医疗鉴定证明伤情与事故的关联性。此时可申请交警部门委托司法鉴定机构进行因果关系鉴定。
     
   • 车主逃逸或未及时救助：若车主在事故后未履行救助义务（如未拨打120、未保护现场等），可能被认定为“逃逸”，面临行政处罚（如扣分、罚款）甚至刑事责任（如交通肇事罪），同时需承担全部赔偿责任。
     
   • 伤者过度治疗：若伤者存在过度医疗（如非必要手术、高价药品等），车主可要求对医疗合理性进行鉴定，并拒绝赔偿不合理部分。

建议：

• 无论事故当时是否认为严重，均应保持冷静，履行法定义务（如救助、报警、保护现场等），避免因程序瑕疵导致责任扩大。
  
• 伤者住院后，车主应主动沟通，了解伤情及治疗进展，同时保留所有沟通记录（如微信、录音等），以备后续争议时使用。
  
• 若对责任认定或赔偿金额有疑问，可直接向我咨询，我会结合具体证据及当地司法实践提供专业建议。