若开发商寄来的催告函不签收或不回应，可能会面临以下法律后果及程序推进：

1. 催告函的法律效力与程序推进
   催告函本质是开发商单方发出的书面通知，其核心作用是“催告履行义务”（如支付房款、收房等）并固定证据。若您拒收或未回应：

   • 视为送达：根据《民事诉讼法》及相关司法解释，若催告函通过EMS等法定方式寄送，即使您拒签收，只要留存寄送凭证（如签收底单、物流记录），法院可能认定“视为送达”，程序仍会继续推进。
     
   • 开发商可能采取下一步行动：催告期满后，开发商可能依据合同约定解除合同（如合同中明确“逾期付款/收房超X日，开发商有权解约”），或直接向法院起诉要求您履行义务（如支付房款、赔偿违约金等）。

2. 拒收催告函的潜在风险

   • 丧失协商机会：催告函常是开发商在起诉前的“最后沟通”，拒收可能关闭协商解决的大门，导致矛盾激化。
     
   • 证据不利：若开发商后续起诉，您未回应催告函的事实可能被法院认定为“消极履行义务”，影响责任认定（如违约金比例、解约合理性等）。
     
   • 额外损失：若合同约定“拒收催告函需承担额外费用”（如律师费、诉讼费），您可能需承担这部分支出。

3. 建议应对方式

   • 签收并审阅内容：收到催告函后，建议签收并仔细核对内容（如催告事项、期限、法律依据等），确认是否与合同约定一致。
     
   • 及时沟通或书面回复：若对催告内容有异议（如已付款但开发商未开票、房屋质量问题导致拒收房），应在催告期内书面回复开发商，明确异议理由并留存证据。
     
   • 咨询专业律师：若催告函涉及大额款项或复杂法律问题（如合同解除、违约金计算），建议直接向我咨询，我会结合合同条款、交易背景等为您分析风险并制定应对策略。

总结：拒收催告函不会阻止程序推进，反而可能因“视为送达”或“消极应对”增加法律风险。建议签收后积极应对，必要时通过法律途径维护权益。若有具体问题，可直接向我提问。