违法减刑应承担的法律责任主要包括刑事责任和行政责任两大方面，以下是对这两方面责任的详细分析：

刑事责任

1. 行贿罪：

   • 若违法减刑是通过向监狱管理人员或其他相关人员行贿实现的，那么行贿者将构成行贿罪。
   • 根据《中华人民共和国刑法》第三百八十九条，为谋取不正当利益，给予国家工作人员以财物的，是行贿罪。在经济往来中，违反国家规定，给予国家工作人员以财物，数额较大的，或者违反国家规定，给予国家工作人员以各种名义的回扣、手续费的，以行贿论处。
   • 行贿罪的刑罚根据情节轻重，可处五年以下有期徒刑或者拘役，并处罚金；情节严重的，处五年以上十年以下有期徒刑，并处罚金；情节特别严重的，处十年以上有期徒刑或者无期徒刑，并处罚金或者没收财产。

2. 受贿罪：

   • 若监狱管理人员或其他相关人员接受行贿，为罪犯违法减刑提供便利，则构成受贿罪。
   • 根据《中华人民共和国刑法》第三百八十五条，国家工作人员利用职务上的便利，索取他人财物的，或者非法收受他人财物，为他人谋取利益的，是受贿罪。
   • 受贿罪的刑罚同样根据情节轻重，可处三年以下有期徒刑或者拘役，并处罚金；情节严重的，处三年以上十年以下有期徒刑，并处罚金或者没收财产；情节特别严重的，处十年以上有期徒刑或者无期徒刑，并处罚金或者没收财产。

3. 徇私舞弊减刑、假释、暂予监外执行罪：

   • 若司法工作人员徇私舞弊，对不符合减刑、假释、暂予监外执行条件的罪犯，予以减刑、假释或者暂予监外执行的，构成此罪。
   • 根据《中华人民共和国刑法》第四百零一条，司法工作人员徇私舞弊，对不符合减刑、假释、暂予监外执行条件的罪犯，予以减刑、假释或者暂予监外执行的，处三年以下有期徒刑或者拘役；情节严重的，处三年以上七年以下有期徒刑。

行政责任

1. 纪律处分：

   • 对于违法减刑行为，相关责任人员除了可能承担刑事责任外，还可能受到行政纪律处分，如警告、记过、记大过、降级、撤职、开除等。

2. 职务调整或免职：

   • 在某些情况下，违法减刑行为可能导致相关责任人员的职务被调整或免职，以维护司法公正和纪律。

实际案例与法律后果

• 在实际案例中，违法减刑行为往往伴随着严重的司法腐败问题，不仅损害了法律的权威性和公正性，也破坏了社会的公平正义。
• 对于违法减刑行为，司法机关将依法进行严厉打击，追究相关责任人员的法律责任，以维护司法公正和法治秩序。

总结与建议：

违法减刑行为不仅违反了法律规定，也损害了司法公正和社会公平正义。对于此类行为，应依法追究相关责任人员的刑事责任和行政责任。如果您或您身边的人涉及此类问题，或者有任何法律疑问，请直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供专业的法律建议和帮助。