结论概述：在河南省中牟县侦破的制售假奶粉案件中，提供虚假证明的关联方需承担法律责任。根据相关法律规定，其可能面临行政处罚、民事赔偿及刑事责任，具体取决于其行为的性质和后果。以下结合新闻背景，从法律角度进行详细分析。

1. 提供虚假证明的关联方需承担的法律责任

（1）行政责任 根据《中华人民共和国产品质量法》第五十九条：“在广告中对产品质量作虚假宣传，欺骗和误导消费者的，依照《中华人民共和国广告法》的规定追究法律责任。广告经营者、广告发布者明知或者应知广告虚假仍设计、制作、发布的，应当依法承担连带责任。” 在本案中，若关联方为广告经营者或发布者，且明知或应知奶粉证明文件虚假仍参与其中，将面临行政处罚，包括罚款、没收违法所得等。

（2）民事责任 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百六十五条：“行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。” 关联方提供虚假证明，导致消费者购买到假奶粉并遭受损害，需承担民事赔偿责任，包括赔偿消费者因此遭受的损失，如医疗费、误工费等。

（3）刑事责任 若关联方与制售假奶粉的不法分子构成共同犯罪，根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，可能面临刑事处罚。例如，若关联方明知不法分子制售假奶粉，仍为其提供虚假证明文件，帮助其逃避监管，可能构成生产、销售伪劣产品罪的共犯，面临有期徒刑、拘役或罚金等刑罚。

2. 新闻背景中的法律问题剖析

在新闻背景中，不法分子用奶精加淀粉勾兑“奶粉”，并伪造进口证明文件，在电商平台销售。这一行为不仅违反了产品质量法、广告法等法律法规，还涉嫌构成生产、销售伪劣产品罪。提供虚假证明的关联方，作为这一犯罪链条中的重要环节，同样需承担相应的法律责任。

3. 对公众的启示与预防措施

（1）提高警惕，增强辨别能力 消费者在购买奶粉等婴幼儿食品时，应提高警惕，增强辨别能力。选择正规渠道购买，仔细查看产品标签、生产日期、保质期等信息，避免购买到假冒伪劣产品。

（2）加强监管，完善问责机制 监管部门应加强对婴幼儿食品市场的监管力度，建立跨部门、跨地区的监管信息共享平台，对异常经营行为实现智能预警。同时，完善问责机制，对明知故犯、审核失职的平台及提供虚假证明的关联方依法追究其连带责任。

（3）加强法律宣传，提高法律意识 通过加强法律宣传，提高公众对婴幼儿食品安全问题的法律意识。让消费者了解自己的权益和维权途径，鼓励消费者在遇到问题时积极维权，形成全社会共同参与监督的良好氛围。

4. 类似情况的预防措施

（1）建立严格的资质审查机制 电商平台应建立严格的商家资质审查机制，利用技术手段核验文件真伪，确保商家具备合法经营资质。同时，建立商家经营行为的动态监测机制，及时发现并处理异常经营行为。

（2）加强行业自律，规范市场秩序 婴幼儿食品行业应加强自律，规范市场秩序。企业应严格遵守相关法律法规和标准要求，确保产品质量安全。同时，行业协会应发挥桥梁纽带作用，加强企业间的沟通与交流，共同推动行业健康发展。

（3）完善法律法规，加大惩处力度 政府应进一步完善相关法律法规，加大对制售假冒伪劣婴幼儿食品行为的惩处力度。提高违法成本，形成有效的法律震慑力，从源头上遏制此类违法行为的发生。

综上所述，提供虚假证明的关联方在制售假奶粉案件中需承担法律责任。公众应提高警惕、加强监管、完善问责机制并加强法律宣传；同时，电商平台、行业协会和政府也应采取相应措施预防类似情况的发生。如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。