结论：在第三人没有约定利息的情况下，原告要求付利息是否合法，需分情况讨论。一般来说，若借贷双方未约定利息，则原告要求支付利息通常不合法；但若存在逾期还款等特殊情况，原告可能有权要求支付逾期利息。以下为详细分析：
一、借贷双方未约定利息的情况
法律规定：
- 根据《中华人民共和国民法典》第六百八十条：“禁止高利放贷，借款的利率不得违反国家有关规定。借款合同对支付利息没有约定的，视为没有利息。借款合同对支付利息约定不明确，当事人不能达成补充协议的，按照当地或者当事人的交易方式、交易习惯、市场利率等因素确定利息；自然人之间借款的，视为没有利息。”
法律分析：
- 在借贷双方未明确约定利息的情况下，法律视为没有利息。这意味着，如果原告（出借人）在借款时未与第三人（借款人）明确约定利息，那么原告在借款期限内要求第三人支付利息，通常是不合法的。
建议：
- 对于出借人而言，在出借资金时，应明确与借款人约定利息，并签订书面借款合同，以避免未来可能出现的纠纷。
- 对于借款人而言，如果借款时未约定利息，则无需承担支付利息的义务。
二、存在逾期还款等特殊情况
法律规定：
- 虽然借贷双方未约定借款期内的利息，但若借款人未按照约定的期限返还借款，出借人可以要求借款人支付逾期利息。
- 根据《中华人民共和国民法典》第六百七十六条：“借款人未按照约定的期限返还借款的，应当按照约定或者国家有关规定支付逾期利息。”
法律分析：
- 在借款人逾期还款的情况下，即使借贷双方未约定借款期内的利息，出借人也有权要求借款人支付逾期利息。这是为了保护出借人的合法权益，惩罚借款人的违约行为。
计算公式与示例：
- 逾期利息的计算公式通常为：逾期利息 = 逾期本金 × 逾期利率 × 逾期天数。其中，逾期利率可以按照双方约定或国家有关规定确定。
- 示例：假设借款本金为10万元，逾期利率为年利率6%（即日利率为0.0167%），逾期天数为30天，则逾期利息为：100,000 × 0.0167% × 30 = 501元。
建议：
- 对于出借人而言，在借款人逾期还款时，应及时要求借款人支付逾期利息，并保留好相关证据，以便在必要时通过法律途径维护自己的权益。
- 对于借款人而言，应尽量避免逾期还款，以免承担额外的逾期利息和可能的法律责任。
总结与进一步思考：在第三人没有约定利息的情况下，原告要求付利息是否合法，需根据具体情况判断。若借贷双方未约定利息且未发生逾期还款等特殊情况，则原告要求支付利息通常不合法；但若存在逾期还款等特殊情况，则原告可能有权要求支付逾期利息。因此，在处理此类纠纷时，应仔细审查借款合同和相关证据，以确定双方的权利和义务。如果您有具体的法律问题或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。