若您与私人医院签订的劳动合同到期，医院不续约，您可依据《劳动合同法》维护自身权益，具体处理方式如下：

1. 确认不续约的合法性：

   • 根据《劳动合同法》第四十四条，劳动合同期满的，劳动合同终止。若医院在合同到期后明确表示不续签，且不存在违法解除的情形（如因您患病、负伤或不能胜任工作等特定原因且未依法进行相应程序），则医院的行为在法律上可能不构成违法。但即便如此，您仍有权获得相应的经济补偿。

2. 主张经济补偿：

   • 根据《劳动合同法》第四十六条，除用人单位维持或提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的情形外，劳动合同期满终止固定期限劳动合同的，用人单位应当向劳动者支付经济补偿。
   • 经济补偿的标准按照您在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向您支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向您支付半个月工资的经济补偿。这里的“月工资”是指您在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。

3. 办理离职手续与交接：

   • 在确认不续约后，您应与医院办理离职手续，包括工作交接、社保关系转移等。同时，确保医院为您出具离职证明，这是您后续求职或享受失业保险待遇的重要依据。

4. 考虑争议解决途径：

   • 若您对医院不续约的决定或经济补偿的数额有异议，可以尝试与医院进行协商，寻求双方都能接受的解决方案。
   • 若协商无果，您可以向当地的劳动争议调解委员会申请调解，或者向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。对仲裁裁决不服的，还可以向人民法院提起诉讼。

若您与私人医院之间并非劳动关系，而是其他形式的合作或服务关系，不续约的处理方式将有所不同：

• 您应首先查看双方签订的合同或协议，了解其中关于合同终止、违约责任等条款的约定。
• 根据合同约定，与医院协商处理不续约后的相关事宜，如费用结算、未完成项目的处理等。
• 若合同中有争议解决条款，如约定了仲裁或诉讼方式，您应按照约定选择相应的途径解决争议。