工人卖掉您的空调是否违法，这主要取决于工人是否有权处分该空调以及空调的归属情况。以下从不同角度为您详细分析：

1. 如果空调属于您所有，工人无权处分：

   • 法律背景：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，所有权人对自己的不动产或者动产，依法享有占有、使用、收益和处分的权利。工人如果未经您同意，擅自卖掉您的空调，就侵犯了您的财产权。
   • 法律后果：您有权要求工人返还空调或者赔偿您因此遭受的损失。如果工人拒不返还或赔偿，您可以通过法律途径，如向法院提起诉讼，来维护自己的合法权益。

2. 如果空调属于工人所有或工人有合法处分权：

   • 情况说明：在某些特殊情况下，比如工人是空调的购买者（如您将空调作为工资或奖励的一部分给予工人），或者您明确授权工人可以处分空调（如您委托工人出售旧空调），那么工人卖掉空调就是合法的。
   • 法律建议：在这种情况下，您无权要求工人返还空调或赔偿损失，因为工人对空调有合法的处分权。但如果您对工人的处分行为有异议，比如认为工人没有按照您的指示或约定行事，您可以与工人协商解决，或者通过其他合法途径解决争议。

3. 如果工人构成表见代理或职务行为：

   • 法律背景：表见代理是指行为人没有代理权、超越代理权或者代理权终止后，仍然实施代理行为，相对人有理由相信行为人有代理权的，代理行为有效。职务行为则是指工作人员在执行职务过程中所实施的行为。
   • 情况分析：如果工人以您的名义或代表您出售空调，且相对人（即购买空调的人）有理由相信工人有代理权或这是您的职务行为，那么该出售行为可能对您产生法律效力。但这种情况通常需要满足一定的条件，如工人持有您的授权书、您之前有过类似的授权行为等。
   • 法律建议：如果您认为工人的行为构成表见代理或职务行为，且您对此并不知情或不同意，您应及时与相对人沟通，说明情况，并可能需要通过法律途径来澄清事实并维护自己的权益。

总结与建议：

• 在大多数情况下，如果空调属于您所有且工人未经您同意擅自出售，那么工人的行为是违法的。
• 您应首先确认空调的归属情况以及工人是否有权处分该空调。
• 如果您认为工人的行为侵犯了您的权益，您可以与工人协商解决，或者通过法律途径来维护自己的合法权益。
• 在处理此类问题时，建议您保留好相关证据，如购买空调的发票、工人出售空调的证据等，以便在需要时提供证明。

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