针对烧烤代加工店铺污染的问题，主要由环保部门进行监管，同时根据污染类型和具体情况，还可能涉及其他多个部门。以下是对此问题的详细分析：
一、环保部门的监管职责
法律依据：
- 根据《中华人民共和国环境保护法》及相关法规，环保部门负责环境保护工作的统一监督管理，包括大气、水、土壤等环境要素的污染防治。
监管内容：
- 环保部门会对烧烤代加工店铺的油烟排放、废水排放、噪音污染等进行监测和监管。
- 如果店铺的污染排放超过国家或地方规定的标准，环保部门有权要求其进行整改，甚至进行处罚。
二、其他相关部门的职责
城市管理部门：
- 在一些地区，城市管理部门（如城管局）也负责部分环境卫生和市容市貌的管理工作。
- 如果烧烤代加工店铺的污染问题影响到市容市貌或环境卫生，城市管理部门也可能介入处理。
市场监督管理部门：
- 市场监督管理部门负责市场主体的登记注册、市场监管等工作。
- 如果烧烤代加工店铺存在无证经营、超范围经营等违法行为，市场监督管理部门有权进行查处。
卫生健康部门：
- 卫生健康部门负责公共卫生和食品安全的监管工作。
- 如果烧烤代加工店铺的卫生条件不达标或存在食品安全问题，卫生健康部门有权进行监管和处罚。
三、具体处理流程
投诉举报：
- 如果您发现烧烤代加工店铺存在污染问题，可以向当地环保部门或其他相关部门进行投诉举报。
- 投诉举报时，请尽量提供详细的污染情况、店铺位置等信息，以便相关部门及时进行处理。
调查处理：
- 相关部门在接到投诉举报后，会进行调查核实。
- 如果确认存在污染问题，相关部门会依法要求店铺进行整改，并可能对其进行处罚。
后续监督：
- 相关部门会对整改情况进行后续监督，确保店铺按照要求进行整改。
- 如果店铺拒不整改或整改不到位，相关部门可以采取更进一步的措施，如强制关闭、吊销营业执照等。
四、法律建议
保留证据：
- 在投诉举报前，建议您先收集一些证据，如照片、视频、录音等，以证明烧烤代加工店铺存在污染问题。
了解法规：
- 了解相关的环保法规和政策，以便在投诉举报时能够准确引用，提高投诉举报的针对性和有效性。
积极配合：
- 在相关部门进行调查处理时，请积极配合他们的工作，提供必要的协助和信息。
如果您遇到烧烤代加工店铺污染的问题，可以先向当地环保部门进行投诉举报。同时，根据污染类型和具体情况，还可能涉及其他多个部门。如有需要，您可以直接向我咨询相关法律问题，我会为您提供专业的法律建议和帮助。