未成年人上网被抓一次后的处理情况，主要取决于具体的上网场景以及是否涉及不良网络行为。整体而言，处理原则是以教育和引导未成年人为主，同时对违规接纳未成年人的场所进行处罚。以下是对此问题的详细分析：

一、进入网吧等不适宜未成年人的场所

1. 对网吧经营者的处罚：

   • 网吧等互联网上网服务营业场所若接纳未成年人，将违反《互联网上网服务营业场所管理条例》。文化行政部门会对此类行为给予警告，并可并处最高15000元的罚款。
   • 若情节严重，网吧还可能被责令停业整顿，甚至吊销《网络文化经营许可证》。

2. 对未成年人的处理：

   • 未成年人通常不会因此受到行政处罚。警察会联系其监护人，要求加强对未成年人的教育和监管，避免再次进入不适宜的场所。
   • 未成年人可能会被带到派出所做笔录，但这主要是作为处罚网吧的证据，一般不会对其产生负面影响。
   • 警察和相关部门会对未成年人进行批评教育，引导他们正确使用网络。

二、存在不良网络行为

1. 轻微不良行为：

   • 对于传播不良信息、实施网络欺凌等轻微不良行为，相关部门或平台通常会对未成年人进行批评教育，并要求监护人加以管束，督促其改正行为。
   • 网络平台可能会对实施不良行为的账号采取限制功能、警告等措施。

2. 严重违法犯罪行为：

   • 若未成年人的网络行为触犯了法律，如利用网络实施诈骗、传播淫秽物品等犯罪行为，虽未成年人在法律上有从轻、减轻处罚的规定，但仍需承担相应法律责任。
   • 具体处罚会根据未成年人的年龄、行为的性质和危害后果等因素综合判断，可能包括责令家长或监护人加以管教、送入专门学校进行矫治和教育等。
   • 构成犯罪的，将依照刑法相关规定处理，如已满十六周岁的人犯罪，应当负刑事责任；已满十四周岁不满十六周岁的人，犯特定严重犯罪的，也应当负刑事责任。

三、在家上网的情况

• 对于在家中使用网络的未成年人，公安机关通常不会进行处罚。家庭和学校应继续支持未成年人保持良好状态，并帮助他们有效利用网络。

四、案底问题

• 未成年人上网被抓的记录会被封存，根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，这些犯罪记录只有司法机关或有关单位在特定情况下才能查询。因此，一般情况下，这些记录不会对未成年人的未来产生负面影响。

五、学校发现的处理

• 如果未成年人在网吧上网被学校发现，学校可能会按照校规给予相应的处罚，如检讨、警告等，并要求未成年人认真反省，避免再次进入网吧。同时，学校应加强对学生的网络素养教育。

总结：未成年人上网被抓一次后，主要对违规接纳未成年人的场所（如网吧）的经营者进行处罚，而对未成年人本身则以教育和引导为主。家长、学校和相关部门应共同加强对未成年人的网络素养教育，引导他们科学、文明、安全、合理使用网络，避免不良网络行为的发生。