结论：一万以下的信用卡欠款，在特定情况下确实存在被银行起诉的可能性，但并非绝对。是否会被起诉，主要取决于持卡人的还款态度、逾期时间以及银行的具体政策。以下是对此问题的详细分析：
一、民事诉讼角度
银行起诉条件：
- 当持卡人未按照信用卡领用合同的约定按时还款，并经过银行多次有效催收后，仍拒不还款时，银行即具备通过法律途径追讨欠款的权利。这一权利并不受欠款金额大小的限制，只要符合起诉条件，银行即可选择起诉。
- 欠款金额一万以下，虽然相对较小，但若逾期时间较长，且持卡人态度恶劣或逃避催收，银行仍可能选择提起民事诉讼。
起诉时间与过程：
- 法律并未明确规定信用卡欠款的具体金额或逾期时间作为银行必须起诉的标准。银行在决定起诉前，通常会先通过电话、短信、邮件等方式进行催收，并给予一定的宽限期和还款提醒。
- 若持卡人在此阶段仍未还款，银行则可能选择向法院提起民事诉讼，通过法律手段来追讨欠款。
二、刑事诉讼角度（特定情况）
- 法律规定：
- 根据《中华人民共和国刑法》及相关司法解释，恶意透支信用卡且数额较大者构成信用卡诈骗罪。但这里的“数额较大”通常指的是五万元以上。因此，一万以下的欠款，在一般情况下，并不构成刑事立案的标准。
- 然而，若银行能证明持卡人存在恶意透支等符合信用卡诈骗罪构成要件的行为，如伪造信用卡、使用作废的信用卡、冒用他人信用卡等，即使金额未达五万元，也可能根据具体情节依法追究刑事责任。但这种情况相对较少见。
三、建议与措施
及时沟通：
- 若信用卡欠款一万以下且已逾期，建议尽快与银行联系，说明自己的还款困难，并尝试协商制定合理的还款计划。通过积极与银行沟通协商，可以避免被银行起诉的风险，从而保护个人信用记录不受损害。
避免逃避：
- 切勿逃避催收电话或银行工作人员的沟通，以免加速银行采取法律手段的进程。即使无法按时全额还款，也应保持与银行的联系，展现积极的还款态度。
了解法律后果：
- 一旦被银行起诉并胜诉，持卡人除需偿还欠款本金、利息及滞纳金外，还可能承担诉讼费用。若拒不执行法院判决，银行可申请强制执行，这将严重损害持卡人的个人信用记录及日常生活。
总结：一万以下的信用卡欠款，虽然金额相对不大，但仍需高度重视。为避免法律风险和个人信用受损，建议持卡人及时与银行沟通协商还款事宜，并遵守相关法律法规。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。