结论前置：在员工生病期间，公司一般不能随意开除员工，但存在特定情形下可以解除劳动合同，并需依法支付经济补偿或遵循相应程序。
详细分析：
医疗期内的保护：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条的规定，当劳动者患病或者非因工负伤，且在规定的医疗期内时，用人单位不得依据该法第四十条（无过失性辞退）和第四十一条（经济性裁员）的规定解除劳动合同。医疗期的具体长度根据职工实际参加工作年限和在本单位工作年限来确定，范围从3个月到24个月不等。
- 举例说明：假设员工A在公司工作了5年，实际工作年限为8年，那么他享有的医疗期为6个月。在这6个月内，公司不得随意开除他。
- 法律后果：如果公司违反规定，在员工医疗期内擅自解除劳动合同，员工有权要求公司继续履行劳动合同。若员工不要求继续履行或劳动合同已无法继续履行，公司需按照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。赔偿金的计算方式是根据劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准进行支付，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的则支付半个月工资的经济补偿。
医疗期满后的处理：
- 若劳动者在医疗期满后仍不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作，用人单位在提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后，可以解除劳动合同。但在此种情况下，用人单位仍需向劳动者支付经济补偿。
- 举例说明：员工B医疗期满后，由于身体原因无法继续从事原岗位工作，公司也无法为其安排其他合适的工作，此时公司可以提前三十日以书面形式通知B，或者额外支付一个月工资后，解除与B的劳动合同，并支付经济补偿。
员工存在过错情形：
- 如果员工在生病期间存在严重违反用人单位规章制度、严重失职、营私舞弊，给用人单位造成重大损害等《劳动合同法》第三十九条所规定的过错情形，即使处于医疗期内，公司也有权解除劳动合同，并且无需支付经济补偿。
- 举例说明：员工C在生病住院期间，利用职务之便，将公司的财物私自出售并获利，给公司造成了重大损失。此时，公司有权立即解除与C的劳动合同，且无需支付经济补偿。
其他法定辞退情形：
- 如员工被依法追究刑事责任等，公司同样有权解除劳动合同。这些情况下的辞退与员工生病本身并无直接关系。
法律保障与维权途径：
- 公司在处理员工生病期间的问题时，必须严格遵守相关法律法规，确保员工的合法权益得到充分保障。如果公司有任何不当行为，如违法解除劳动合同等，员工可以向劳动仲裁委员会提起仲裁申请，或者向法院提起诉讼，以维护自己的合法权益。
生病期间工资计算（虽未直接询问，但为全面解答，补充说明）：
- 根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，员工在医疗期内，公司应按照其在本单位的工作年限和病假工资支付标准，支付病假工资或疾病救济费。具体标准可能因地区和公司政策而异，但通常不会低于当地最低工资标准的80%。
综上所述，公司在面对员工生病期间的问题时，应谨慎处理，遵循法律法规，确保合法合规地管理员工关系。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。