结论前置：公司开除员工（即解除劳动合同）必须严格遵循法律规定的条件和程序，主要可分为因劳动者存在过错而开除、非因劳动者过错而开除以及经济性裁员三种情况。若违反法律规定，公司可能面临支付经济赔偿金等法律责任。以下是对这三种情况的详细阐述：
一、因劳动者存在过错而开除
根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，公司在以下情况下可以合法开除员工且无需支付经济补偿：
试用期间不符合录用条件：公司需在招聘时明确录用条件，并在员工入职时告知。如员工在试用期结束时未满足这些条件，如技能不达标或未达到工作要求，公司可解除劳动合同。但需保留相关证据，如招聘广告、面试记录、试用期考核标准及结果等。
严重违反规章制度：公司的规章制度必须合法、合理且经过公示。员工如连续旷工、泄露商业机密、在工作场所闹事等严重违纪行为，公司可依此解除劳动合同。此时，公司需提供员工知晓规章制度的证据及违纪事实证明，如签字确认的规章制度手册、考勤记录、监控录像等。
严重失职或营私舞弊：员工因严重失职或营私舞弊给公司造成重大损害时，公司可解除劳动合同。此时，公司需明确“重大损害”标准，并提供损失的相关证据，如财务报表、客户流失证明、审计报告等。
兼职影响工作：员工同时与其他单位建立劳动关系，严重影响本职工作或拒不改正时，公司可解除劳动合同。此时，公司需提供员工兼职及对本公司工作影响的证据，如兼职合同、工作记录、同事证言等。
劳动合同无效：如员工以欺诈、胁迫手段使公司违背真实意思订立或变更劳动合同，公司可认定合同无效并解除劳动关系。此时，公司需提供员工欺诈行为的证据，如虚假证书的鉴定报告、录音录像等。
被追究刑事责任：员工被依法追究刑事责任时，公司可解除劳动合同。此时，公司需提供法院的生效判决等相关法律文书作为依据。
二、非因劳动者过错而开除
根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十条，公司在以下情况下可以提前三十日以书面形式通知劳动者或额外支付一个月工资后解除劳动合同，但需支付经济补偿：
患病或非因工负伤：员工患病或非因工负伤，医疗期满后不能从事原工作或新安排的工作时，公司可解除劳动合同。此时，公司需提供医疗期证明、员工不能胜任工作的相关证明，并提前三十日以书面形式通知或额外支付一个月工资。
不能胜任工作：员工不能胜任工作，经培训或调整岗位后仍不能胜任时，公司可解除劳动合同。此时，公司需明确“不能胜任工作”的标准，提供绩效考核记录、培训记录等证据，并提前三十日以书面形式通知或额外支付一个月工资。
客观情况变化：劳动合同订立时的客观情况发生重大变化，导致合同无法履行，且双方未能就变更内容达成协议时，公司可解除劳动合同。此时，公司需提供客观情况变化的证明及与员工协商的记录，并提前三十日以书面形式通知或额外支付一个月工资。
三、经济性裁员
在公司依照企业破产法规定进行重整或生产经营发生严重困难时，可进行经济性裁员。但需按照法律规定进行，包括提前通知、制定裁员方案、与劳动者协商等。根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十一条，公司在以下情况下可以进行经济性裁员：
四、开除员工的程序要求
公司开除员工前必须具备充足的事实依据，并遵循合法程序。包括明确且合理的规章制度、充分的过错证据、通知工会（如有）并研究其意见、向员工出具解除劳动合同的书面通知等。若程序不合法，即使员工存在过错，公司也可能面临法律风险。
五、经济补偿与赔偿
合法开除无需赔偿：若公司依据合法事由开除员工，无需支付经济补偿或赔偿金，但应支付员工应得的工资。
违法开除需赔偿：若公司违法开除员工，员工可要求继续履行合同；若不要求继续履行或合同已无法履行，公司应按经济补偿标准的二倍支付赔偿金。赔偿金计算按员工在本单位工作年限，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
综上所述，公司在开除员工时必须谨慎行事，确保有充足的事实依据和符合法律规定的程序步骤。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。