结论前置：房贷出现“连三累六”的情况，但每月贷款都还了（这里理解为有逾期但最终都补还了，可能存在部分月份逾期多次或连续逾期但未完全断供），确实存在被银行或贷款机构起诉的可能性，但并非一定会被起诉。最终是否会被起诉，取决于多个因素的综合考量。

详细分析：

1. 合同条款与银行政策：

   • 住房贷款合同中通常会明确规定逾期还款的处理方式，包括逾期的次数、期限以及银行可采取的措施。若合同中明确规定了连续逾期或累计逾期达到一定次数时，银行有权起诉，那么银行就具备了起诉的法律依据。
   • 不同银行对于房贷逾期的容忍度和处理政策存在差异。一些银行可能对逾期行为采取较为严格的处理措施，包括迅速启动催收程序并在多次催收无果后选择起诉；而另一些银行则可能相对宽松，给予借款人更多的宽限期和协商机会。

2. 逾期情况与还款态度：

   • “连三累六”表明逾期情况较为严重，即使每月贷款最终都还了，但逾期的次数和连续性已经对银行的资金安全和风险管理构成了挑战。银行在评估是否起诉时，会考虑逾期金额的大小、逾期时长的长短以及借款人在逾期后的还款态度。
   • 如果借款人在逾期后表现出积极的还款态度，如及时与银行沟通、提供合理的还款计划并努力履行，银行可能会考虑给予一定的宽限期或协商解决方案，而不会立即起诉。

3. 此前信用记录与沟通情况：

   • 借款人在本次逾期之前的信用记录也是银行考虑的重要因素。如果借款人此前一直保持着良好的还款记录，只是由于特殊原因导致这次出现“连三累六”的情况，银行可能会综合考虑借款人的过往信用情况，认为其只是偶尔出现还款困难，而不会轻易采取起诉措施。
   • 及时与银行取得联系，说明逾期原因，并表达愿意尽快还款的诚意，对于降低被起诉的风险至关重要。通过积极的沟通，借款人可以争取到更多的理解和支持，从而避免法律纠纷。

4. 银行内部流程与资源限制：

   • 银行起诉借款人需要投入一定的人力、物力和时间成本。因此，在某些情况下，银行可能会因为内部流程繁琐、案件积压等原因，暂时不会对所有逾期客户立即提起诉讼。他们可能会先通过内部催收部门进行多次催收，只有在认为有必要且时机合适时，才会选择起诉。

建议：

• 尽快与银行联系：了解银行对于逾期情况的处理政策和意图，表达还款的诚意和努力。
• 积极筹集资金：尽快还清逾期款项，减少逾期金额和时长，以降低被起诉的风险。
• 保持积极沟通：与银行保持密切联系，提供合理的还款计划，并努力履行承诺。
• 寻求法律帮助：如果面临被起诉的风险或已经收到法院的传票，及时寻求专业的法律帮助，以便更好地了解自己的权利和义务，并制定有效的应对策略。

综上所述，房贷出现“连三累六”的情况后被起诉的风险是存在的，但通过积极的沟通和努力还款，可以降低这一风险。同时，了解合同条款和银行政策也是非常重要的，以便更好地应对可能出现的逾期情况。如有任何法律疑问或需要进一步的帮助，请直接向我咨询。