核心结论：签订到退休的合同后，公司能否辞退员工，需根据员工是否开始依法享受基本养老保险待遇以及具体地区的司法实践来确定。若劳动合同因员工退休而终止，则不涉及辞退问题；若劳动关系继续存在而公司欲解除，则需遵循《劳动合同法》规定的合法解除情形，否则可能构成违法解除并需支付赔偿金。

详细分析：

1. 员工开始依法享受基本养老保险待遇：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十四条的规定，当员工开始依法享受基本养老保险待遇时，劳动合同即告终止。这意味着，如果员工已经达到了退休年龄并且开始领取养老金，那么公司与员工之间的劳动合同就自然结束了，此时公司无需辞退员工，也不存在违法解除劳动合同的问题。

2. 员工达到退休年龄但未享受基本养老保险待遇：

   • 在这种情况下，处理方式会因地区而异，存在两种主要的司法实践观点：
     • 部分地区认定劳动关系终止：依据《劳动合同法实施条例》第二十一条，劳动者达到法定退休年龄时，劳动合同即终止。这些地区认为，只要员工达到法定退休年龄，无论其是否享受基本养老保险待遇，劳动合同都自然终止。因此，在这些地区，公司无需因为员工达到退休年龄而辞退员工，劳动合同已经自然终止。
     • 部分地区认定劳动关系继续存在：在这些地区，仅以达到法定退休年龄为由并不能直接终止劳动合同。如果员工未享受基本养老保险待遇，双方劳动关系依然存续。此时，若公司希望解除劳动合同，必须符合《劳动合同法》规定的合法解除情形，如员工严重违反用人单位规章制度、不能胜任工作等。如果公司无法证明存在这些合法解除情形而强行解除劳动合同，则可能构成违法解除，需要向员工支付赔偿金。赔偿金标准为经济补偿标准的二倍，具体计算方式依据员工在本单位工作的年限来确定，计算公式为：赔偿金=经济补偿标准×2×工作年限，其中经济补偿标准通常为员工离职前十二个月的平均工资。

3. 后续工作安排建议：

   • 若员工在退休后仍希望在公司继续工作，且公司同意，双方可以协商签订新的劳务合同或其他协议。此时，双方建立的是劳务关系而非劳动关系，相关权利义务将按照劳务合同的约定执行。这有助于明确双方的权利和义务，避免后续可能出现的纠纷。

总结与建议： 在处理员工退休与劳动合同终止的问题时，公司应充分考虑员工的养老保险待遇情况以及所在地区的司法实践。在劳动关系继续存在的情况下，如需解除劳动合同，务必确保符合法定解除情形，以避免可能的法律风险和经济赔偿。同时，对于退休后希望继续工作的员工，公司可以通过签订劳务合同等方式进行合理安排。如果您在处理此类问题时遇到任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。