在劳务派遣关系中，当派遣员工发生工伤时，关于工伤鉴定的申请主体及相关责任，可以明确如下：
一、首要申请主体：劳务派遣单位
根据《中华人民共和国劳动合同法》及相关规定，劳务派遣单位作为劳动者的用人单位，承担着为劳动者缴纳社会保险费（包括工伤保险）的法定义务。因此，当被派遣劳动者发生工伤时，劳务派遣单位是工伤认定的首要申请主体。它需要在事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起30日内，向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。若未在规定时限内提交申请，期间发生的工伤待遇等有关费用将由劳务派遣单位负担。
二、协助义务方：用工单位
虽然用工单位不与劳务派遣员工建立直接的劳动关系，但在工伤事故发生后，它负有协助的义务。这包括及时通知劳务派遣单位、提供工伤认定的相关证据和材料，并配合进行工伤调查。用工单位的协助对于工伤认定的顺利进行至关重要。
三、救济途径：工伤职工或其近亲属、工会组织
若劳务派遣单位未按规定时间提出工伤认定申请，工伤职工或其近亲属、工会组织也享有直接申请的权利。根据《工伤保险条例》的规定，他们可以在事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起1年内，直接向用人单位所在地统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。
四、申请流程与注意事项
准备材料：申请工伤认定时，需要准备劳动合同、医疗诊断证明等相关材料。具体所需材料可能因地区而异，建议提前咨询当地社会保险行政部门或专业律师。
注意时效：无论是劳务派遣单位还是工伤职工或其近亲属、工会组织，都应注意申请时效，确保在规定时间内提出申请，以免错过维权机会。
了解认定标准：工伤认定标准主要依据《工伤保险条例》，包括在工作时间和工作场所内因工作原因受伤、患职业病等情形。了解这些标准有助于及时判断并申请工伤认定。
综上所述，劳务派遣员工发生工伤时，应由劳务派遣单位作为首要申请主体进行工伤认定。若劳务派遣单位未在规定时间内提出申请，工伤职工或其近亲属、工会组织有权在1年内直接申请。用工单位虽非直接申请主体，但有义务协助调查。通过明确各方责任和义务，可以确保工伤认定的顺利进行，保障劳动者的合法权益。