在合同纠纷中，一方或双方当事人均可以在以下情况下申请调解协议书：
双方自愿协商并达成初步和解意向时：
- 当合同纠纷发生后，双方当事人如果愿意通过友好协商的方式解决争议，并且已经就争议的主要事项达成了一定的共识或初步的和解意向，此时任何一方或双方共同可以申请调解协议书。调解协议书可以作为双方和解的书面记录，具有法律约束力，有助于确保双方按照约定履行义务，避免后续纠纷。
在诉讼或仲裁过程中，双方同意调解时：
- 如果合同纠纷已经进入诉讼或仲裁程序，但在审理过程中，双方当事人出于各种考虑（如节省时间、降低成本、维护商业关系等）愿意通过调解方式解决争议，此时可以向法院或仲裁机构提出调解申请。在法院或仲裁机构的主持下，双方达成调解协议后，可以制作调解协议书，该协议书经双方签字或盖章后具有法律效力，可以作为执行依据。
在第三方调解机构介入后，双方达成调解协议时：
- 除了诉讼和仲裁外，双方当事人还可以选择向第三方调解机构（如人民调解委员会、行业调解组织等）申请调解。在第三方调解机构的主持下，双方经过协商达成调解协议后，调解机构可以制作调解协议书。该协议书同样具有法律约束力，双方应当履行。
法律背景与建议：
- 法律背景：根据《中华人民共和国人民调解法》等相关法律法规的规定，调解协议书是双方当事人自愿达成的解决争议的书面协议，具有法律约束力。一旦双方签字或盖章确认，即应当按照协议内容履行义务。如果一方不履行调解协议书约定的义务，另一方可以向人民法院申请司法确认或提起诉讼，要求对方履行或承担违约责任。
- 法律建议：在申请调解协议书前，建议双方当事人充分了解调解的法律后果和协议书的法律效力。同时，在调解过程中，应当保持诚实信用原则，如实陈述事实、提供证据，并尊重对方的合法权益。如果双方对调解协议书的内容存在争议或不确定之处，可以咨询专业律师的意见，以确保调解协议书的合法性和有效性。
可能的法律后果：
- 如果双方成功达成调解协议书并履行完毕，则合同纠纷得到圆满解决，双方之间的法律关系得以恢复或重新确立。
- 如果一方不履行调解协议书约定的义务，则另一方有权向人民法院申请司法确认或提起诉讼，要求对方履行或承担违约责任。此时，不履行义务的一方可能面临法律制裁和额外的经济损失。
如有任何合同纠纷方面的法律问题或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。