若政府监督部门工作人员因公殉职，其家属可依法享受工伤保险待遇及可能的烈士评定等荣誉保障，具体处理流程及权益保障如下：

1. 工伤保险待遇申请
   根据《工伤保险条例》第十五条，职工因工死亡的，其近亲属可从工伤保险基金领取丧葬补助金、供养亲属抚恤金和一次性工亡补助金。具体标准为：

   • 丧葬补助金：6个月的统筹地区上年度职工月平均工资；
     
   • 供养亲属抚恤金：按职工工资一定比例发给由其生前提供主要生活来源、无劳动能力的亲属；
     
   • 一次性工亡补助金：上一年度全国城镇居民人均可支配收入的20倍。
     流程：家属需在事故发生后30日内向社保部门提交工伤认定申请（单位未申请的，家属可自行申请），并提交劳动关系证明、死亡证明等材料。

2. 烈士评定及荣誉保障
   若殉职情形符合《烈士褒扬条例》第八条（如抢险救灾、见义勇为等），家属可申请评定为烈士，享受以下待遇：

   • 烈士褒扬金：标准为烈士牺牲时上一年度全国城镇居民人均可支配收入的30倍；
     
   • 定期抚恤金：对符合条件的烈士遗属发放；
     
   • 医疗、住房、教育等优先优惠政策。
     流程：由县级人民政府提出评定申请，经市级人民政府审核后报省级人民政府批准。

3. 其他可能的补偿途径

   • 单位补充补偿：若单位有额外福利政策（如商业保险、内部抚恤），家属可同步申请；
     
   • 民事赔偿：若因第三方侵权导致死亡（如交通事故），家属可向侵权方主张民事赔偿，但需注意工伤保险与民事赔偿不冲突，可兼得。

建议行动步骤：

1. 立即向单位人事部门或社保部门报告，启动工伤认定程序；
   
2. 收集事故证明、劳动关系证明等材料；
   
3. 若符合烈士评定条件，同步向县级退役军人事务部门提交申请；
   
4. 咨询专业律师协助处理复杂情形（如第三方侵权、单位未参保等）。
   

提示：因公殉职的认定及待遇涉及多部门协作，建议家属尽早委托亲属或律师介入，确保权益全面保障。如有具体问题，可直接向我咨询。