面对跨境电商中的虚假宣传问题，您可以通过以下详细且具有深度的步骤来维护自己的合法权益：

一、收集并保存证据

重要性：证据是维权的基础，对于跨境电商而言，由于涉及跨国交易，证据的收集和保存尤为重要。

具体操作：

• 宣传资料：保存商品页面截图、广告视频、产品说明等，这些资料应能清晰展示商家的宣传内容。
• 购买凭证：保留订单确认邮件、交易记录、支付凭证等，以证明您与商家之间的交易关系。
• 沟通记录：如果与商家有过沟通，如聊天记录、邮件往来等，也应一并保存，这些记录可能包含商家对虚假宣传的承认或解释。
• 质量检测报告：如果可能，对购买的商品进行质量检测，并获取检测报告，以证明商品与宣传不符。

二、尝试与商家协商

步骤：

1. 联系商家：通过电商平台的聊天工具、客服电话或邮件等方式，与商家取得联系。
2. 明确问题：向商家指出其虚假宣传的具体内容，如夸大产品功效、虚假标注成分等。
3. 提出诉求：根据《消费者权益保护法》等相关法律法规，提出合理的诉求，如退货退款、换货、补偿损失等。如果商家存在欺诈行为，您还可以主张三倍赔偿（最低五百元）。

注意事项：

• 保持冷静和理性，避免情绪化沟通。
• 记录协商过程，包括时间、地点、参与人员、沟通内容等，并要求商家给予书面回复，以便后续维权使用。

三、向跨境电商平台投诉

步骤：

1. 登录平台：进入您购物的跨境电商平台，找到投诉或举报入口。
2. 提交投诉：按照平台要求填写投诉表格，上传相关证据材料，详细描述商家的虚假宣传行为和您的诉求。
3. 等待处理：平台将对您的投诉进行审核，并可能组织双方进行调解。如果调解成功，平台将协助双方达成和解协议。

特点：

• 跨境电商平台通常设有专门的投诉处理机制，能够快速响应消费者的投诉。
• 平台对商家有一定的监管责任，如果商家存在违规行为，平台可能会对其采取处罚措施。

四、向行政部门投诉

主要部门：

• 市场监督管理部门是处理虚假宣传的主要部门，您可以通过12315热线或官方平台在线投诉。
• 如果跨境电商涉及特定领域，如食品、药品等，您还可以向相关领域的监管部门投诉。

实施方式：

• 线上投诉：登录全国12315平台（www.12315.cn）或其他相关监管部门的官方网站，提交投诉信息。
• 线下举报：携带证据材料前往当地市场监督管理部门或相关监管部门的现场办公地点进行举报。

法律依据：

• 依据《电子商务法》、《消费者权益保护法》等相关法律法规，监管部门可对违规商家处以罚款、吊销营业执照等处罚。

五、提请仲裁或提起诉讼

提请仲裁：

• 前提条件：如果您与商家在购买前已签订书面仲裁协议，且协议明确约定争议解决方式为仲裁，那么您可以向约定的仲裁机构提交仲裁申请。
• 仲裁流程：提供相关证据和材料，仲裁庭将进行审理并作出裁决。仲裁裁决具有法律效力，可申请强制执行。

提起诉讼：

• 准备材料：整理起诉状、证据清单及相关证明材料，确保材料完整、准确。
• 立案受理：向被告住所地或合同履行地基层法院提交诉讼材料，经法院审核后立案受理。
• 庭审维权：通过法庭辩论维护自己的合法权益，可主张惩罚性赔偿等。如果商家不履行判决，您可申请强制执行。

六、附加建议

• 寻求专业帮助：在维权过程中，如遇复杂情况或法律问题，可咨询律师或法律专业人士，以获得更专业的指导和支持。
• 了解法律法规：消费者应了解相关法律法规，明确自己的权利和义务，依法合理地主张诉求。
• 关注国际消费者权益保护：由于跨境电商涉及跨国交易，您还可以关注国际消费者权益保护组织和相关协议，了解跨国维权的途径和方式。

综上所述，面对跨境电商中的虚假宣传问题，您应积极采取行动，通过收集证据、与商家协商、向平台投诉、向行政部门投诉、提请仲裁或提起诉讼等途径，依法维护自身合法权益。