在双方互殴的情况下，处罚方式及法律责任主要取决于互殴的具体情节、后果以及双方的过错程度。以下是对此问题的详细解析：

一、处理流程

1. 调查取证：派出所接到报警后，会迅速出警，了解事件经过，并收集相关证据，如询问双方当事人、现场证人，查看监控录像等。

2. 伤情鉴定：如果有人受伤，会安排伤者进行伤情鉴定，鉴定结果将作为后续处罚和赔偿的重要依据。

3. 调解与处罚决定：对于情节较轻的互殴，公安机关会尝试调解处理。若调解成功，则不予处罚；若调解失败或协议后不履行，则依法给予治安管理处罚。

二、治安处罚

1. 轻微互殴：若情节轻微，未造成严重后果，根据《治安管理处罚法》第四十三条，可处五日以上十日以下拘留，并处二百元以上五百元以下罚款；情节较轻的，处五日以下拘留或者五百元以下罚款。

2. 特殊情形：若互殴行为构成结伙斗殴、寻衅滋事，或殴打、伤害特定人群（如残疾人、孕妇、未成年人、老年人等），将受到更严厉的处罚，处十日以上十五日以下拘留，并可处五百元以上一千元以下罚款。

三、刑事处罚

若互殴导致一方或多方受到轻伤或以上程度的伤害，则构成故意伤害罪，需依法追究刑事责任。根据《刑法》第二百三十四条：

• 轻伤：处三年以下有期徒刑、拘役或者管制。
• 重伤：处三年以上十年以下有期徒刑。
• 致人死亡或以特别残忍手段致人重伤造成严重残疾：处十年以上有期徒刑、无期徒刑或者死刑。

在量刑时，法院会综合考虑犯罪动机、主观恶性、社会危害性、是否累犯、有无自首、立功等从轻减轻情节，以及当事人的认罪态度等因素。

四、其他考虑因素

在处理互殴案件时，派出所还会综合考虑双方的过错程度、是否存在正当防卫等因素。例如，若一方存在明显的挑衅或过错较大，则在量刑或确定赔偿责任时会予以相应考虑。

五、民事赔偿

除了对违法犯罪行为进行处罚外，双方还应就民事赔偿部分进行协商。民事赔偿范围一般包括医疗费、误工费、护理费、交通费等因伤害行为导致的合理损失。若协商不成，可通过人民调解或民事诉讼等途径解决。

综上所述，双方互殴的处罚方式及法律责任是复杂且多变的，取决于互殴的具体情节、后果以及双方的过错程度。在处理过程中，建议双方保持冷静，积极配合公安机关的调查取证工作，并依法维护自己的合法权益。