公司开除员工时，是否需要支付赔偿金以及赔偿金的计算方式，主要取决于开除的原因和所依据的法律法规。以下是对此问题的详细解答：
一、合法解除劳动合同的赔偿情况
协商解除劳动合同：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十六条，用人单位与劳动者协商一致可以解除劳动合同。此时，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
无过失性辞退：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十条，若劳动者存在患病或非因工负伤医疗期满后不能从事原工作、不能胜任工作且经过培训或调岗后仍不能胜任、劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化导致合同无法履行等情形，用人单位提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后，可以解除劳动合同，并需支付经济补偿金。经济补偿金的计算方式与协商解除劳动合同相同。
经济性裁员：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十一条，用人单位因特定经济原因（如生产经营发生严重困难、企业转产、重大技术革新或经营方式调整等）需要裁减人员二十人以上或占企业职工总数百分之十以上的，在履行法定程序（如提前向工会或全体职工说明情况、听取意见、向劳动行政部门报告等）后可解除合同，并需支付经济补偿金。经济补偿金的计算方式同样按工作年限支付。
二、违法解除劳动合同的赔偿情况
- 赔偿金计算：
- 若用人单位违反法律规定解除劳动合同，应按照《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条规定，以经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。例如，若劳动者应得经济补偿金为N个月工资，则违法解除时需支付2N个月工资的赔偿金。
三、特殊情形的赔偿规定
未提前通知代通知金：
- 用人单位未提前三十日书面通知即解除合同，除经济补偿外还需额外支付一个月工资的代通知金。但需注意，代通知金与经济补偿金不可兼得，即如果用人单位已经支付了代通知金，则不再支付经济补偿金中的那部分“额外一个月工资”。
试用期解除限制：
- 试用期内解除合同需符合法定条件（如劳动者不符合录用条件、严重违反规章制度等），否则仍可能构成违法解除并承担相应责任。
四、赔偿计算中的关键要素说明
月工资定义：
- 经济补偿中的“月工资”指劳动者在合同解除前十二个月的平均工资，包含计时/计件工资及奖金、津贴等货币性收入。
高收入者封顶机制：
- 若劳动者月工资高于当地职工月平均工资三倍，经济补偿年限最高不超过十二年，且月工资基数按当地职工月平均工资三倍计算。
综上所述，公司开除员工时是否需要支付赔偿金以及赔偿金的计算方式，需根据开除的原因和所依据的法律法规来判断。在合法解除劳动合同的情况下，用人单位需按工作年限支付经济补偿金；在违法解除劳动合同的情况下，用人单位则需支付双倍的经济补偿金作为赔偿。同时，还需注意特殊情形的赔偿规定和赔偿计算中的关键要素。