在行政案件调查询问中碰到当事人虚假陈述，行政机关应当采取以下措施来应对：
明确告知法律责任：
- 在调查询问开始时，行政机关应明确告知当事人虚假陈述的法律后果，包括可能面临的行政处罚、刑事责任等。这有助于形成法律威慑，促使当事人如实陈述。例如，根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第六十条的规定，伪造、隐匿、毁灭证据或者提供虚假证言、谎报案情，影响行政执法机关依法办案的，将受到相应的行政处罚。
细致询问与交叉验证：
- 行政机关在询问过程中应细致入微，通过不同角度、不同方式的问题来验证当事人的陈述。对于关键事实，可以要求当事人提供相关证据或线索，以便进行进一步的核实。同时，行政机关还可以与其他相关部门或机构进行信息共享和协作，以获取更全面的信息来验证当事人的陈述。
记录与固定证据：
- 对于当事人的陈述，行政机关应详细记录，并要求当事人签字确认。如果当事人拒绝签字或存在其他疑点，行政机关可以采用录音、录像等方式固定证据。这些证据在后续的行政复议或行政诉讼中将成为重要的法律依据。
依法处理虚假陈述行为：
- 一旦发现当事人存在虚假陈述行为，行政机关应依法进行处理。根据虚假陈述的严重程度和造成的后果，行政机关可以给予警告、罚款等行政处罚。如果虚假陈述行为构成犯罪，如伪证罪等，行政机关还应将案件移送司法机关依法追究刑事责任。
保障当事人合法权益：
- 在处理虚假陈述行为的同时，行政机关也应保障当事人的合法权益。例如，如果当事人因虚假陈述而受到不公正的待遇或损失，行政机关应依法给予赔偿或补偿。同时，行政机关还应为当事人提供申诉和救济的途径，确保当事人的合法权益得到充分保障。
从法律背景与建议的角度进一步分析：
法律背景：在行政案件调查询问中，当事人如实陈述是行政机关查明事实、依法作出行政决定的基础。虚假陈述不仅会干扰行政机关的正常工作秩序，还可能损害公共利益和他人合法权益。因此，法律对虚假陈述行为进行了严格的规制和处罚。
法律建议：对于行政机关而言，在调查询问过程中应保持高度的警惕性和专业性，及时发现并制止虚假陈述行为。同时，行政机关还应加强与其他相关部门或机构的协作与信息共享，提高调查询问的效率和准确性。对于当事人而言，应如实陈述事实、提供真实证据，避免因虚假陈述而承担不必要的法律责任。
可能面临的法律后果：
- 如果当事人因虚假陈述而受到行政处罚或刑事处罚，其个人信用记录将受到严重影响，可能对其未来的生活和工作产生不利影响。
- 虚假陈述行为还可能引发行政复议或行政诉讼等法律纠纷，增加当事人的诉讼成本和风险。
综上所述，行政机关在行政案件调查询问中碰到当事人虚假陈述时，应明确告知法律责任、细致询问与交叉验证、记录与固定证据、依法处理虚假陈述行为，并保障当事人合法权益。如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。