关于继父继母是否应当承担监护人责任的问题，这需要根据具体的法律情形和继父母与继子女之间的关系来确定。
首先，我们要明确的是，根据《中华人民共和国民法典》的规定，父母是未成年子女的监护人，这是法定权利，不受父母之间婚姻关系解除的影响。这里的父母子女关系，不仅包括了婚生父母子女关系，也包括了非婚生父母子女关系、养父母子女关系和继父母子女关系。但并非所有继父母和继子女关系都直接适用《民法典》中关于父母子女关系的全部规定，这需要根据不同情形来具体分析。
接下来，我们来看继父母与继子女之间可能存在的几种关系情形：
继父母没有对未成年子女尽抚养的义务： 在这种情况下，继父母与继子女之间主要是纯粹的直系姻亲关系，并没有形成父母子女间的权利义务关系。因此，继父母在这种情况下并不承担监护人的责任。
继父或者继母经继子女的生父母同意，正式办理了收养手续： 如果继父或继母通过正式的收养程序，将继子女收养为养子女，那么随着收养关系的确立，继父母与继子女之间的关系就转变为养父母与养子女关系。在这种情况下，继父母就依法成为了未成年继子女的监护人，需要承担相应的监护人责任。
生父（母）与继母（父）再婚，未成年继子女随生父母一方与继父或者继母共同生活： 在这种情况下，如果继父或者继母对未成年继子女承担了部分或者全部的抚养教育义务，那么继子女和生父母、继父母之间的权利义务都适用父母子女关系的规定。这意味着，继父母在这种情况下也需要承担监护人的责任。
此外，我们还需要注意的是，即使继父母成为了未成年继子女的监护人，他们也需要履行相应的监护职责，包括抚养、教育和保护被监护人。如果继父母有严重损害被监护人身心健康的行为、怠于履行监护职责或者实施严重侵害被监护人合法权益的其他行为，人民法院可以根据有关个人或者组织的申请撤销其监护人资格，并安排必要的临时监护措施，依法指定新的监护人。
综上所述，继父继母是否应当承担监护人责任，取决于他们与继子女之间的具体关系情形以及是否履行了相应的抚养教育义务。如果继父母与继子女之间形成了养父母子女关系或者在实际生活中承担了抚养教育义务，那么他们就需要承担监护人的责任。