孩子在校车上摔伤，责任承担需根据具体情况分析，可能涉及学校、校车服务提供者（运输公司）、司机、第三方以及孩子自身等多方主体。以下是对此问题的详细分析：
学校责任
- 直接运营或管理校车：若校车为学校自有并自行运营，学校对学生负有安全送达的义务。因校车安全问题（如车辆维护不善、司机资质不符等）导致孩子受伤，学校需承担相应的赔偿责任。
- 委托运营但保留管理权：学校委托有资质的运输公司提供校车服务时，若学校保留了一定的管理权限或未充分履行审查义务，导致选择了不合格的运输公司，学校可能需承担选任过失责任。
- 安全教育疏忽：学校若未提供足够的安全指导或未确保校车设施安全，也可能构成责任来源，需承担相应的责任。
校车服务提供者（运输公司）责任
- 安全保障义务：运输公司有义务提供符合安全标准的车辆和合格司机，保障孩子乘车安全。若因车辆问题或司机资质问题导致孩子受伤，运输公司需承担赔偿责任。
司机责任
- 故意或重大过失：如司机酒驾、超速、疲劳驾驶等，导致孩子受伤，司机需承担个人责任，并可能被追偿。
- 正常履职但遇意外事故：若司机在正常履职过程中因不可预见、不可避免的意外事故（如突发车辆故障、其他车辆违规驾驶等）导致孩子受伤，一般由用人单位（学校或运输公司）承担赔偿责任。
第三方责任
- 侵权行为：如其他车辆违规驾驶与校车发生碰撞，导致孩子受伤，第三方需承担侵权责任，对受伤孩子进行赔偿。
孩子自身责任
- 故意或重大过失：若孩子在校车上打闹、擅自解开安全带等，导致自身受伤，孩子自身需承担相应责任，可能减轻其他责任主体的赔偿责任。
法律责任与赔偿：
- 受伤孩子或其法定代理人有权向责任方提出索赔要求，包括医疗费用、精神损失赔偿等。
- 在处理此类案件时，应尽快收集事故现场照片、监控视频、证人证言等证据，以明确责任方。
预防措施与建议：
- 加强校车安全管理：学校和运输公司应定期对校车进行安全检查，确保车辆性能良好，司机资质符合要求。
- 提高司机素质：加强对司机的培训和管理，确保其具备合格的驾驶技能和良好的职业素养，遵守交通规则，确保行车安全。
- 加强孩子安全教育：提高孩子的安全意识，教育其在乘坐校车时遵守规定，不嬉戏打闹，正确使用安全带等安全设施。
总结与提醒：孩子在校车上摔伤的责任承担需综合考虑多方面因素。在处理此类事件时，应依法进行索赔，并加强预防措施，以确保孩子的乘车安全。若遇到相关法律问题，可以直接向我咨询，我会根据具体情况为你提供专业的法律建议。