针对员工团建时脑出血这一情况，公司应当采取以下措施来妥善处理：

一、及时救治与护理

首先，公司应立即采取措施确保受伤员工得到及时救治。如果员工脑出血情况严重，应迅速将其送往有处理能力的医疗机构进行抢救和治疗，确保受伤员工能够及时得到有效救治。在救治过程中，公司应与医疗机构保持密切联系，及时了解员工的病情和治疗进展。

二、工伤认定申请

根据《工伤保险条例》的相关规定，公司应在事故伤害发生之日起30日内，向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。这一步骤是确保员工能够享受工伤保险待遇的关键，公司应高度重视并按时完成。

三、劳动能力鉴定与工伤保险待遇给付

待员工伤情相对稳定后，如果存在残疾或影响劳动能力的情况，公司应协助员工进行劳动能力鉴定。根据鉴定结果，员工将享受相应的工伤保险待遇，包括医疗费用、康复费用、伤残补助金等。公司应积极为员工办理相关手续，确保员工能够及时获得应有的待遇。

四、停工留薪期待遇

在员工暂停工作接受工伤医疗期间，公司应按照《工伤保险条例》的规定，保持员工原工资福利待遇不变，并按月支付。如果员工生活不能自理，在停工留薪期需要护理的，公司也应负责提供护理。

五、后续岗位安排与经济补偿

待员工康复后，公司应根据其劳动能力鉴定结果，合理安排工作岗位。如果员工因工伤导致劳动能力下降，难以从事原工作，公司应考虑调整其工作岗位或提供适当的经济补偿。如果员工与公司的劳动关系因此解除或终止，公司还应按照相关规定支付一次性工伤医疗补助金和一次性伤残就业补助金。

六、关注员工心理与家庭状况

除了物质上的支持，公司还应关注员工的心理状况和家庭状况。脑出血等严重工伤不仅给员工带来身体上的痛苦，还可能对其心理造成严重影响。公司可以安排专业的心理咨询师为员工提供心理疏导，帮助其走出心理阴影。同时，公司也可以与员工家属保持沟通，了解其家庭状况，提供必要的帮助和支持。

综上所述，公司在处理员工团建时脑出血的情况时，应全面考虑员工的救治、工伤认定、劳动能力鉴定、工伤保险待遇给付、停工留薪期待遇、后续岗位安排与经济补偿以及心理与家庭状况等多个方面，确保员工能够得到全面、妥善的照顾和支持。