结论：在理发店洗头时金项链丢失，是否可以起诉店家赔偿，这取决于具体情况，包括店家是否存在过错、项链丢失的具体原因等。以下从不同角度进行分析：
一、店家存在过错的情况
店家未尽到安全保障义务：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十八条，宾馆、商场、银行、车站、机场、体育场馆、娱乐场所等经营场所、公共场所的经营者、管理者或者群众性活动的组织者，未尽到安全保障义务，造成他人损害的，应当承担侵权责任。
- 在理发店洗头时，如果店家未提供合理的安全措施（如未提醒顾客保管好贵重物品、未提供安全的储物设施等），导致顾客的金项链丢失，店家可能因未尽到安全保障义务而承担赔偿责任。
店家员工行为导致项链丢失：
- 如果店家员工在洗头过程中因疏忽或故意行为导致顾客的金项链丢失，店家作为雇主，根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十一条，应当承担员工因执行工作任务造成他人损害的侵权责任。
二、店家不存在过错的情况
顾客自身原因导致项链丢失：
- 如果顾客在洗头过程中自行取下项链并随意放置，或因自身疏忽导致项链丢失，且店家已尽到合理的安全保障义务，那么店家通常不承担赔偿责任。
第三方行为导致项链丢失：
- 如果项链丢失是由于第三方的行为（如盗窃）导致的，且店家无法预见或防止该行为的发生，那么店家通常也不承担赔偿责任。但店家有义务协助顾客报警并配合调查。
三、建议与行动
收集证据：
- 如果顾客认为店家存在过错并希望索赔，应首先收集相关证据，如监控录像、证人证言、购物凭证等，以证明项链的丢失与店家的过错有关。
与店家协商：
- 在收集到足够证据后，顾客可以尝试与店家进行协商，寻求合理的赔偿方案。
寻求法律途径：
- 如果协商无果，顾客可以考虑通过法律途径解决纠纷，如向法院提起诉讼或向消费者协会投诉。
进一步思考：在处理此类纠纷时，关键在于确定店家是否存在过错以及过错与项链丢失之间的因果关系。因此，顾客在发现项链丢失后，应尽快采取行动收集证据，并咨询专业律师以获取更具体的法律建议。如果你有具体的法律问题或需要进一步的帮助，请直接向我咨询。