在美容院楼梯摔伤，美容院是否应该负责赔偿，这主要取决于美容院是否尽到了安全保障义务。以下从不同角度进行分析：
美容院未尽到安全保障义务的情况
如果美容院楼梯存在安全隐患，比如楼梯湿滑、照明不足、扶手损坏等，且美容院没有采取合理的措施来消除这些隐患，或者没有设置明显的警示标志来提醒顾客注意安全，那么在这种情况下，顾客在楼梯上摔伤，美容院很可能需要承担赔偿责任。
法律依据： 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十八条的规定，宾馆、商场、银行、车站、机场、体育场馆、娱乐场所等经营场所、公共场所的经营者、管理者或者群众性活动的组织者，未尽到安全保障义务，造成他人损害的，应当承担侵权责任。
举例说明： 假设美容院楼梯因为清洁不当导致湿滑，且没有设置“小心地滑”的警示标志，顾客在上下楼梯时不慎滑倒摔伤。在这种情况下，美容院就因为没有尽到安全保障义务，而需要对顾客的摔伤承担赔偿责任。
美容院已尽到安全保障义务的情况
如果美容院楼梯不存在安全隐患，或者虽然存在隐患但美容院已经采取了合理的措施来消除隐患，并设置了明显的警示标志，那么在这种情况下，顾客在楼梯上摔伤，美容院可能不需要承担赔偿责任。当然，如果顾客自身存在过错，比如故意或者重大过失导致摔伤，那么美容院的责任可能会进一步减轻或者免除。
法律依据： 同样根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十八条的规定，如果损害是因受害人故意或者不可抗力造成的，行为人不承担责任。被侵权人对同一损害的发生或者扩大有过错的，可以减轻侵权人的责任。
举例说明： 假设美容院楼梯干净整洁，扶手完好，且设置了明显的“小心台阶”的警示标志。顾客在上下楼梯时因为玩手机而没有注意脚下，不慎摔伤。在这种情况下，美容院已经尽到了安全保障义务，顾客的摔伤主要是由于自身过错导致的，因此美容院可能不需要承担赔偿责任。
特殊情况考虑
如果顾客是未成年人或者老年人等特殊群体，美容院可能需要承担更高的安全保障义务。因为这些群体在行动能力、判断力等方面可能存在不足，更容易受到伤害。因此，美容院在针对这些群体提供服务时，需要采取更加严格的措施来确保他们的安全。
建议：
总之，在美容院楼梯摔伤是否应该由美容院负责赔偿，需要根据具体情况来判断。如果美容院未尽到安全保障义务导致顾客摔伤，那么美容院应该承担赔偿责任；如果美容院已经尽到了安全保障义务或者顾客自身存在过错导致摔伤，那么美容院可能不需要承担赔偿责任。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。