结论：在汽车受损且已走保险的情况下，是否可以要求对方私下赔付需分情况讨论，具体如下：

1. 保险赔付未覆盖全部损失时
   若保险赔付金额未完全弥补您的实际损失（如存在免赔额、未投保特定险种导致部分损失未获赔等），您有权就未获赔部分向对方主张赔偿。例如，车辆维修费中超出保险保额的部分，或因事故导致的间接损失（如误工费、交通费等，若保险未覆盖），均可要求对方承担。此时，对方私下赔付属于对剩余损失的补充赔偿，法律上并无禁止。

2. 保险赔付已覆盖全部损失时
   若保险已全额赔付您的损失（包括直接损失和合理间接损失），您再要求对方私下赔付可能涉及不当得利。根据《民法典》第122条，因他人没有法律根据取得不当利益的，受损失的人有权请求其返还不当利益。此时，若您重复获赔（如保险赔付后对方又支付相同金额），可能需退还多余部分，否则对方有权主张返还。

3. 对方自愿额外补偿的情形
   若对方出于愧疚或协商一致，自愿向您支付额外补偿（如精神抚慰金、超出实际损失的款项），且不违反法律强制性规定（如不涉及敲诈勒索），则法律允许。但需注意，此类补偿应明确性质（如“赠与”或“补偿”），避免后续纠纷。

操作建议：

• 保留事故认定书、保险理赔单据、维修发票等证据，以证明损失范围及保险赔付情况；
  
• 若需向对方主张赔偿，建议通过书面协议明确赔偿范围（如“仅针对未获保险赔付的XX元损失”），避免模糊表述；
  
• 若对方拒绝赔付或协商无果，可依据《道路交通安全法》第76条，通过诉讼或调解程序主张权利。
  

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