关于公开选调顶岗试用期间能否请假的问题，这主要取决于具体的选调单位和试用规定，不过我可以结合一般情况和您找到的参考信息，给您一个较为全面的解答。
首先，公开选调的顶岗试用阶段通常是为了全面评估选调人员的适应能力和工作表现。在这个阶段，选调人员需要全身心地投入到新的工作环境中，以展示自己的能力和态度。因此，从原则上来说，试用期间应该尽量避免不必要的请假，以确保能够充分参与和完成试用任务。
然而，如果确实遇到了特殊情况需要请假，比如突发疾病、家庭紧急事务等，那么选调人员应该及时向选调单位提出请假申请。请假流程和审批权限可能会因单位而异，但一般来说，需要遵循以下步骤：
提前沟通：在需要请假前，尽量提前与选调单位的负责人或人事部门进行沟通，说明请假的原因和预计的请假时间。
提交申请：按照单位的要求，填写请假申请表或提交书面请假申请，详细说明请假的原因、时间、工作交接情况等。
等待审批：提交申请后，需要等待单位的审批。审批结果可能会根据请假的原因、时长以及单位的工作安排等因素而有所不同。
遵守规定：如果请假申请获得批准，选调人员需要严格遵守请假期间的工作交接和返岗时间等规定，确保不影响单位的正常工作秩序。
结合您提供的参考信息，虽然巴中市委组织部的公告中没有直接提及顶岗试用期间的请假问题，但安定区的选调生管理使用中明确提到了请销假制度。这表明，在选调生的管理过程中，请假是需要遵循一定规定和流程的。因此，可以合理推测，在公开选调的顶岗试用阶段，同样会有类似的请假管理规定。
综上所述，公开选调顶岗试用期间能否请假，取决于具体的选调单位和试用规定。如果确实需要请假，建议选调人员及时与单位沟通并提交申请，严格遵守单位的请假管理规定。同时，也建议选调人员在试用期间尽量保持全勤，以充分展示自己的工作态度和能力。