结论：他人在抖音乱私信您的家人，这一行为是否违法，需根据私信的具体内容、频率及造成的后果等多方面因素综合判断。若私信内容构成骚扰、侮辱、诽谤或侵犯隐私等，则可能违法，甚至可能构成犯罪。

分析说明：

1. 若私信内容构成骚扰：

   • 法律背景：根据《中华人民共和国治安管理处罚法》的相关规定，多次发送淫秽、侮辱、恐吓或者其他信息，干扰他人正常生活的，处五日以下拘留或者五百元以下罚款；情节较重的，处五日以上十日以下拘留，可以并处五百元以下罚款。若私信内容频繁且令人感到不适，干扰了您家人的正常生活，即可能构成骚扰，违反了该法律条款。
   • 可能后果：行为人可能面临行政处罚，包括拘留和罚款。

2. 若私信内容构成侮辱或诽谤：

   • 法律背景：根据《中华人民共和国刑法》和《中华人民共和国民法典》的相关规定，公然侮辱他人或者捏造事实诽谤他人，情节严重的，可能构成侮辱罪或诽谤罪，需承担刑事责任；若情节较轻，不构成犯罪，但侵犯了他人名誉权，需承担民事责任，如停止侵害、恢复名誉、消除影响、赔礼道歉及赔偿损失等。
   • 可能后果：行为人可能面临刑事处罚（如拘役、有期徒刑等）或民事赔偿。

3. 若私信内容侵犯隐私：

   • 法律背景：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，自然人享有隐私权，任何组织或者个人不得以刺探、侵扰、泄露、公开等方式侵害他人的隐私权。若私信内容涉及您家人的私人生活安宁、私密空间、私密活动或私密信息等，即可能构成侵犯隐私权。
   • 可能后果：行为人需承担民事责任，包括停止侵害、赔礼道歉及赔偿损失等。

行动建议：

• 收集证据：若您认为他人在抖音上的私信行为已经构成了违法或侵权，首先应收集相关证据，如私信截图、聊天记录等，以证明行为人的违法或侵权行为。
• 报警或起诉：根据行为的严重程度和造成的后果，您可以选择向公安机关报案或向人民法院提起诉讼，要求行为人承担相应的法律责任。
• 加强防范：同时，建议您和家人加强网络安全意识，设置好抖音等社交平台的隐私权限，避免不必要的骚扰和侵犯。

特殊场景：

• 若行为人持续不断且恶意私信：这种情况下，行为人的行为可能更加恶劣，对您的家人造成的心理和精神压力也更大。您应更加坚决地采取法律手段维护自己和家人的合法权益。
• 若行为人利用私信进行诈骗或其他犯罪活动：这种情况下，行为人的行为已经构成了犯罪，您应立即向公安机关报案，并配合公安机关的调查工作。

如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。