结论前置：事业人员醉驾拘役一个月后，若单位决定解除劳动合同，将产生劳动合同终止、可能影响职业发展和经济补偿等一系列影响。但具体是否解除，需依据单位规章制度及劳动合同约定，并结合实际情况综合判断。

一、法律对解除劳动合同的规定

根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，劳动者被依法追究刑事责任的，用人单位可以解除劳动合同。醉驾构成危险驾驶罪，被判处拘役一个月，显然属于被依法追究刑事责任的情形。因此，从法律层面讲，单位有权解除劳动合同。

二、单位解除劳动合同的考量因素

尽管法律赋予了单位解除劳动合同的权利，但单位在决定是否行使这一权利时，会综合考虑多方面因素，包括但不限于：

1. 员工的工作表现与贡献：若员工平时工作表现优秀，对单位有重大贡献，单位可能会出于惜才考虑，选择给予员工改过自新的机会，而非立即解除劳动合同。
2. 岗位的可替代性：若员工所在岗位专业性强、难以短期内找到合适替代人选，单位可能会倾向于保留该员工的劳动关系，以确保业务的连续性和稳定性。
3. 单位的管理理念与文化：不同单位对员工纪律的要求和宽容度不同。部分单位注重人文关怀，强调给予员工改正错误的空间；而部分单位则对员工违法行为采取“零容忍”态度。

三、解除劳动合同的可能影响

若单位决定解除劳动合同，将对员工产生以下影响：

1. 劳动合同终止：员工与单位的劳动关系将正式终止，员工需寻找新的工作机会。
2. 职业发展与声誉：醉驾记录可能对员工的职业发展和声誉造成负面影响，尤其是在需要良好道德品质和职业操守的岗位上。
3. 经济补偿：根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，若单位解除劳动合同符合法定情形，且员工无过错，单位应依法支付经济补偿。但具体补偿金额和方式需根据劳动合同约定和实际情况确定。

四、单位未解除劳动合同的情况

若单位未选择解除劳动合同，员工需继续履行劳动合同约定的义务，包括但不限于：

1. 遵守单位规章制度：员工需严格遵守单位的各项规章制度，不得再出现违法行为。
2. 积极改正错误：员工应深刻反思自己的错误，积极改正，争取重新获得单位的信任和认可。
3. 承担相应责任：若员工因醉驾给单位造成损失，需依法承担赔偿责任。

五、建议与注意事项

1. 员工应积极与单位沟通：在面临解除劳动合同的风险时，员工应主动与单位沟通，表达自己的诚意和改正错误的决心，争取单位的谅解和支持。
2. 单位应依法行使解除权：单位在决定是否解除劳动合同时，应依法行使权利，不得滥用解除权或违反法定程序。
3. 双方应妥善处理后续事宜：无论单位是否解除劳动合同，双方都应妥善处理后续事宜，包括工资结算、经济补偿、社保转移等，以避免产生不必要的纠纷。

总结：事业人员醉驾拘役一个月后，若单位决定解除劳动合同，将产生一系列影响。但具体是否解除，需依据单位规章制度及劳动合同约定，并结合实际情况综合判断。作为员工，应深刻反思自己的错误，积极改正；作为单位，应依法行使权利，妥善处理后续事宜。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。