结论：您所描述的情况，即理发同行在旁边开了一家店且价格较低（您20元，他10元），一般并不直接构成不当竞争，也不足以成为提起诉讼的直接理由。不过，是否构成不当竞争还需根据具体情况和法律规定来综合判断。
一、关于不当竞争的法律定义
不当竞争，通常指的是经营者违反法律规定，损害其他经营者的合法权益，扰乱社会经济秩序的行为。在《中华人民共和国反不正当竞争法》中，明确列举了多种不当竞争行为，如虚假宣传、商业诋毁、侵犯商业秘密等。而单纯的低价竞争，并不直接等同于不当竞争。
二、低价竞争是否构成不当竞争
合法低价竞争：
- 如果同行通过提高效率、降低成本等合法手段实现低价，且没有违反法律法规或损害您的合法权益，那么这种低价竞争是合法的，不构成不当竞争。
可能构成不当竞争的情形：
- 如果同行通过不正当手段（如虚假宣传、恶意诋毁、低价倾销等）来排挤您，导致您的市场份额下降或经营困难，那么这种行为可能构成不当竞争。
- 特别是低价倾销，如果同行以低于成本的价格销售商品，且目的是为了排挤竞争对手，那么这种行为可能违反《反不正当竞争法》的相关规定。但需要注意的是，低价倾销的认定需要严格的证据支持，包括成本计算、销售价格、销售目的等。
三、是否可以提起诉讼
诉讼理由：
- 如果您认为同行存在不当竞争行为，且该行为给您造成了损失，那么您可以考虑提起诉讼。但诉讼需要充分的证据支持，包括不当竞争行为的具体表现、给您造成的损失等。
诉讼风险：
- 提起诉讼需要承担一定的诉讼风险，包括时间成本、金钱成本以及可能败诉的风险。因此，在决定提起诉讼前，您需要充分评估诉讼的可行性和必要性。
四、建议与措施
收集证据：
- 如果您认为同行存在不当竞争行为，建议您先收集相关证据，包括价格对比、宣传资料、客户反馈等。
协商解决：
- 在提起诉讼前，您可以尝试与同行进行协商，寻求和解或达成其他协议。这有助于降低诉讼成本并维护良好的商业关系。
寻求法律帮助：
- 如果您需要进一步的法律帮助或咨询，可以随时向我提问。我会根据您的具体情况和法律规定，为您提供专业的法律意见和建议。
总结：单纯的低价竞争并不直接构成不当竞争，也不足以成为提起诉讼的直接理由。是否构成不当竞争还需根据具体情况和法律规定来综合判断。如果您认为同行存在不当竞争行为，并给您造成了损失，建议您先收集证据并尝试协商解决。如有需要，可以随时向我咨询法律问题。