关于教师请病假出院后是否可以续假的问题，这主要取决于学校的具体管理制度以及医疗期的相关规定。以下是我为您提供的详细解答：
一、学校管理制度
根据庆云一中教职工管理制度，关于病假的规定如下：
请假流程：教职工请病假1天（含）以上必须书面向学校提出申请。请病假3天（含）以内的，由分管校长审批；3天以上10天以内的由校长审批；10天（含）以上的由校长办公会研究决定。
医疗证明：住院治疗的，需出具二级甲等（县级）及以上医院诊断证明和病例；未住院治疗的需出具地市级以上检验报告和医生的诊断报告，以及结算发票等有关医疗资料。
假期批准：学校会结合诊疗结果和治疗周期，合理批准假期。
复工与续假：病假1个月以上病愈能够恢复工作的，本人应提交书面申请，经学校批准后方可复工。复工后旧病复发，或另患其他疾病需继续请假的，病假时间连续计算。这意味着，如果出院后旧病复发或新患疾病，您可以根据医疗证明和学校规定，申请续假。
二、医疗期规定
关于医疗期能否“清零”和多次享受的问题，虽然法律没有明确规定，但主流观点认为：
医疗期期限：医疗期是指企业职工因患病或非因工负伤停止工作治病休息不得解除劳动合同的时限。医疗期的长度根据职工本人实际参加工作年限和在本单位工作年限确定。
医疗期计算周期：医疗期满是指在一定周期内累计病休满一定时长。例如，应享受三个月医疗期的职工，如果从某年1月1日起第一次病休，那么该职工的医疗期应在1月1日至6月30日之间确定，在此期间累计病休三个月即视为医疗期满。
医疗期清零与多次享受：如果到计算周期结束时未休满医疗期，则从下一个周期开始，医疗期可以重新起算。这意味着医疗期是可以“清零”并多次享受的。但具体能否续假以及续假的时长，还需根据学校的具体管理制度和您的医疗证明来确定。
三、综合建议
咨询学校：首先，建议您咨询所在学校的教务处或人事处，了解学校关于病假续假的具体规定和流程。
准备医疗证明：如果需要续假，请确保您有充分的医疗证明，包括医院诊断证明、病例、检验报告等。
提交书面申请：按照学校规定，提交书面续假申请，并附上相关医疗证明。
关注审批结果：等待学校审批，并关注审批结果。如果学校批准续假，请按照批准的时间和要求进行休假。
综上所述，教师请病假出院后是否可以续假，取决于学校的具体管理制度和您的医疗证明。建议您按照上述建议进行操作，以确保您的权益得到保障。