核心结论：租房时，若首次签订的合同到期后未续签新合同，但双方仍继续履行租赁关系，原合同中的部分条款在特定条件下仍然有效，但整体上双方形成的是不定期租赁关系。
详细分析：
原合同部分条款的效力：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，租赁期限届满，承租人继续使用租赁物，出租人没有提出异议的，，原租赁合同继续有效，但是租赁期限为不定期。这意味着，虽然双方没有续签书面合同，但原合同中的一些核心条款，如租金支付方式、租赁物的使用规定等，在双方没有异议的情况下，仍然对双方具有约束力。
- 举例：假设原合同中规定租金每月支付一次，且承租人需保持租赁房屋的整洁。在合同到期后，如果承租人继续居住并按时支付租金，同时保持房屋整洁，那么这些条款就仍然有效。
不定期租赁关系的形成：
- 当原租赁合同到期后，双方未续签新合同但继续履行租赁关系时，就形成了不定期租赁关系。不定期租赁关系意味着双方可以随时解除合同，但应当提前通知对方。
- 法律后果：在不定期租赁关系中，任何一方都有权在合理期限内通知对方后解除合同。这给予了双方更大的灵活性，但也可能带来不确定性，因为合同可能随时被终止。
建议与注意事项：
- 续签合同：为了避免不必要的纠纷和不确定性，建议在原合同到期前或到期后尽快续签新合同，明确双方的权利和义务。
- 保留证据：如果双方确实没有续签合同但继续履行租赁关系，建议保留好租金支付记录、沟通记录等证据，以证明双方确实存在租赁关系。
- 及时沟通：如果任何一方希望终止租赁关系，应当提前与对方沟通，并按照法律规定提前通知对方，以避免不必要的法律纠纷。
特殊情况说明：
- 如果原合同中有特别约定，如“合同到期后自动续期”或“合同到期后双方需重新协商签订新合同”等，那么这些特别约定将优先适用。在这种情况下，双方应当按照特别约定的内容来处理租赁关系。
总结与引导：
租房时，合同到期后未续签新合同但继续履行租赁关系的情况下，原合同部分条款在特定条件下仍然有效，但双方形成的是不定期租赁关系。为了保障自己的权益，建议尽快续签新合同或明确双方的权利和义务。如果您在房产租赁方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。