结论：私人诊所公章并非一定要刻上行政区县，但需符合相关规定。具体分析如下：

1. 公章刻制管理规定
   根据《国务院关于国家行政机关和企业事业单位社会团体印章管理的规定》（国发〔1999〕25号），企业、事业单位的印章应当载明单位名称，但未强制要求必须包含行政区划（如省、市、县）。因此，私人诊所作为医疗机构，其公章名称可仅体现诊所全称（如“XX诊所”），无需强制包含行政区县。但需注意，若诊所名称中本身包含行政区划（如“XX县XX诊所”），则公章需与登记名称一致。

2. 医疗机构登记要求
   根据《医疗机构管理条例》及实施细则，医疗机构需向卫生行政部门申请执业登记，登记事项包括名称、地址、诊疗科目等。若诊所名称已通过卫生行政部门核准（如包含行政区县），则公章需与核准名称完全一致；若名称未包含行政区县，则公章无需添加。例如，核准名称为“XX医疗美容诊所”，公章可直接刻制为该名称。

3. 实际使用中的建议

   • 合规性优先：公章名称必须与《医疗机构执业许可证》上的名称完全一致，否则可能因“印章与登记名称不符”被认定为无效文件，影响合同效力、医保结算等。
     
   • 简化风险：若诊所名称较长（如包含多级行政区划），可优先选择与许可证一致的简化名称刻制公章，避免因名称歧义引发纠纷。
     
   • 备案要求：根据《印章治安管理办法》，刻制公章需到公安机关备案，备案时需提交医疗机构执业许可证等材料，公安机关会审核名称合规性。

总结：私人诊所公章是否刻制行政区县，取决于其核准登记的名称是否包含该内容。核心原则是公章名称必须与《医疗机构执业许可证》完全一致。若对名称或刻制流程有疑问，可直接向我咨询具体操作规范。