私人诊所名字确实需要注册，准确地说，是需要进行备案。根据相关法律法规，如《诊所备案管理暂行办法》、《中华人民共和国医师法》以及《医疗机构管理条例》，新设置的普通诊所、口腔诊所、医疗美容诊所等都需要进行备案管理。备案流程中，诊所的名称是备案信息的重要组成部分，必须符合《医疗机构管理条例实施细则》关于医疗机构命名的要求，并且需要与诊所备案凭证记载事项相一致。

在进行诊所备案时，需要提交包括诊所名称、地址、法定代表人或者主要负责人、所有制形式、诊疗科目、服务方式等在内的备案材料。备案机关会对材料进行审核，如果材料齐全且符合备案要求，会当场发放诊所备案凭证。之后，诊所还需要将备案凭证、卫生技术人员执业注册信息在诊所明显位置公示，接受社会监督。

此外，如果诊所的名称、地址等备案信息发生变动，必须向原备案机关备案。诊所歇业时，也需要向原备案机关备案。因此，可以说私人诊所的名字是需要进行注册（备案）的，这是确保诊所合法执业、接受监管的重要步骤。