结论前置：关于继子在父亲去世后是否有继承权的问题，主要取决于继子与父亲（继父）之间是否形成了抚养关系。若形成了抚养关系，继子通常享有继承权；若未形成，则一般不享有。
一、形成抚养关系的情况
法律定义与认定：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，继子女与继父母之间如果形成了抚养关系，即继父母在继子女未成年时对其进行了生活上的照顾、承担了教育费用等抚养行为，并持续了一定合理期限，那么继子女就被视为与继父母形成了法律上的拟制血亲关系。
- 在这种情况下，继子女作为法定第一顺序继承人中的子女，享有对继父遗产的继承权。
实际案例：
- 例如，小张在其母亲改嫁老李后，由老李抚养成人。老李去世时，小张因存在抚养关系而有权继承老李的遗产。
法律后果：
- 一旦形成抚养关系，继子不仅享有继承权，还可能承担对继父的赡养义务，这取决于具体的家庭情况和法律规定。
二、未形成抚养关系的情况
法律定义与认定：
- 如果继子在其生父或生母再婚时已经成年，或者虽然未成年但与继父未共同生活且未受到继父的抚养教育，那么他们之间就不存在抚养关系。
- 在这种情况下，继子通常不享有对继父遗产的法定继承权，因为双方仅构成名义上的亲属关系，而非法律上的父母子女关系。
实际案例：
- 例如，小王在其母亲改嫁老赵时已经成年，且未与老赵共同生活。老赵去世时，小王因未形成抚养关系而无权继承老赵的遗产。
特殊情况：
- 即便未形成抚养关系，如果继子女对继父母尽到了较多的扶助与照顾义务，或者存在事实上的收养行为（尽管未办理合法手续），法院可能会根据实际情况酌情考虑继子女的继承权。但这种情况较为特殊，需要具体案件具体分析。
三、遗嘱对继承权的影响
- 无论继子与继父之间是否存在抚养关系，如果继父在生前立有遗嘱，并明确指定由继子继承其遗产，那么继子都可以作为遗嘱继承人继承继父的遗产。这一规定体现了尊重被继承人意愿的原则。
四、建议与注意事项
家庭沟通：
- 在处理这类问题时，家庭成员之间应加强沟通，明确各自的权利和义务，以避免不必要的纠纷。
法律咨询：
- 如果对继子是否享有继承权存在争议，或者需要了解更详细的法律程序和规定，建议直接向我咨询。我可以根据具体情况提供准确的法律建议和指导。
证据收集：
- 在涉及继承权争议时，收集相关证据（如共同生活证明、抚养费用支付记录等）对于维护自身权益至关重要。
综上所述，继子在父亲去世后是否有继承权主要取决于其与继父之间是否形成了抚养关系。在实际操作中，应充分考虑法律规定和实践中的处理方式，以确保各方权益得到妥善保护。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。