逮捕后取保候审的批准机关，根据案件所处的不同阶段，分别由公安机关、人民检察院或人民法院负责。以下是对这一问题的详细分析：
一、不同阶段的批准机关
侦查阶段：
- 在此阶段，如果犯罪嫌疑人符合取保候审的条件，其家属或律师需向负责侦查的公安机关提交取保候审申请。
- 公安机关会综合考虑多方面因素，如犯罪嫌疑人是否可能实施新的犯罪、是否有危害国家安全、公共安全或社会秩序的现实危险等，来决定是否批准取保候审。
- 具体批准由县级以上公安机关负责人进行，无需经过检察院批准，但公安机关在作出决定后，需要通知原批准逮捕的人民检察院。
审查起诉阶段：
- 当案件进入审查起诉阶段，即由公安机关移送至人民检察院进行审查时，犯罪嫌疑人可以申请取保候审。
- 人民检察院会根据案件的具体情况，包括犯罪情节、犯罪嫌疑人的认罪态度等，依据法律规定决定是否批准。
- 审批流程包括办案部门负责人审核后，报请检察长审批决定。对于重大案件，还需经检察委员会讨论决定，并将相关情况报上一级人民检察院备案。
审判阶段：
- 在审判阶段，被告人有权申请取保候审。
- 人民法院会结合案件的事实、证据以及被告人的个人情况等，判断其是否符合取保候审的法定条件，并作出是否准许的决定。
- 取保候审的批准由院长进行。
二、取保候审的条件
无论在哪个阶段申请取保候审，犯罪嫌疑人都需要满足一定的条件，这些条件通常包括：
- 可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
- 可能判处有期徒刑以上刑罚，但采取取保候审不致发生社会危险性的；
- 患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
- 羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
三、申请与答复流程
- 被羁押的被告人及其法定代理人、近亲属有权提出取保候审的申请。
- 犯罪嫌疑人被逮捕后，其聘请的律师也可以为其申请取保候审。
- 申请取保候审应当采用书面形式提交给相应的批准机关。
- 批准机关在接到申请后，应在规定时间内（如人民法院在接到申请后，应在三日以内）作出是否同意的答复。对同意取保候审的，会责令犯罪嫌疑人、被告人提出保证人或者交纳保证金。
四、特殊情况的处理
- 对于担任县级以上各级人民代表大会代表的犯罪嫌疑人，决定采取取保候审等强制措施时，需要报请该代表所属的人民代表大会主席团或者常务委员会许可。
- 如果案件已经由公安机关移送至人民检察院审查起诉，且人民检察院认为需要继续羁押犯罪嫌疑人，那么即使提出了取保候审的申请，也可能不会获得批准。
- 在某些情况下，如犯罪嫌疑人涉嫌的罪行特别严重、存在串供或逃跑的风险等，办案机关可能会认为不符合取保候审的条件而拒绝申请。
总结来看，逮捕后取保候审的批准机关并非固定，而是根据案件所处的不同阶段来确定。在实际操作中，应严格遵循相关法律法规，确保取保候审制度的正确实施。如果您或您的亲友面临此类情况，有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。