物业在私人车位后方安装水池的行为，通常是不合法的，这主要涉及到业主对专有部分的所有权以及物业公司的管理权限问题。以下从几个方面进行详细分析：
一、业主对专有部分的所有权
根据《民法典》的相关规定，业主对其购买的专有部分（如私人车位）享有完整的所有权，包括占有、使用、收益和处分的权利。这意味着，业主有权决定如何使用其专有部分，包括是否允许在其车位后方安装水池等设施。物业公司在未经业主同意的情况下，擅自在其专有部分后方安装水池，显然侵犯了业主的所有权。
二、物业公司的管理权限
物业公司作为小区的管理者，其职责主要是维护小区的公共秩序、环境卫生和共用设施设备的正常运行。然而，这并不意味着物业公司可以随意干涉业主对其专有部分的使用。除非有明确的法律法规或物业服务合同约定，否则物业公司无权在业主的专有部分后方安装水池等设施。
三、可能的法律后果
如果物业公司擅自安装水池，业主可以采取以下措施维护自己的合法权益：
与物业公司协商：首先，业主可以尝试与物业公司进行协商，要求其拆除水池并恢复原状。
向业主委员会反映：如果协商无果，业主可以向业主委员会反映情况，由业主委员会出面与物业公司进行沟通或采取其他措施。
法律途径：如果上述方式均无法解决问题，业主还可以通过法律途径来维护自己的权益，如向法院提起诉讼，要求物业公司停止侵权行为并赔偿损失。
四、特殊情况考虑
当然，也存在一些特殊情况。例如，如果水池的安装是为了小区的整体利益或公共安全考虑，并且已经得到了业主大会或相关政府部门的批准，那么这种安装行为可能是合法的。但即便如此，物业公司也应当事先与业主进行充分沟通，并确保安装行为不会对业主的专有部分造成损害。
建议：
如果您有任何进一步的法律问题或需要更具体的法律建议，请随时向我咨询。